Переменное магнитное поле. Электромагнитная индукция

Из общего определения электрического поля (12.3), вычислив ротор левой и правой части, получим:

, (19.1)

поскольку ротор всякого градиента равен нулю. Видно, что переменное во времени магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.

Подкрепим этот результат, рассмотрев несколько частных задач.

1. Рассмотрим контур, площадь которого меняется в однородном магнитном поле . Магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежит контур. Одна из перемычек движется с постоянной скоростью , ее длина (рис.19.1). Если контур разомкнут, то, как принято говорить, в нем появится электодвижущая сила (ЭДС) .

Рис.19.1

На свободные носители заряда в движущейся перемычке будет действовать магнитная составляющая силы Лоренца (12.4). Заряды начнут перераспределяться, появится электрическое поле, в равновесном состоянии такое, что . На концах перемычки будет разность потенциалов , равная . Потенциал неподвижных частей контура одинаков, поэтому мы можем сказать, что в контуре появится ЭДС, равная . Циркуляция вектора напряженности электрического поля по контуру и будет равна этой разности потенциала (4.5):

.

Направление обхода контура выбираем против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора .

Формально полученный знак минус отражает правило Ленца: для замкнутого контура индукционный ток направлен так, чтобы магнитное поле, создающееся индукционным током, препятствовало бы изменению магнитного потока, пронизывающего контур. При установлении правила Ленца необходимо помнить, что силой, заставляющей заряды в контуре двигаться, будет магнитная составляющая силы Лоренца. Правило Ленца является частным случаем, применимым в электродинамике, более общего принципа Ле-Шателье: всякое внешнее воздействие, выводящее систему из равновесного состояния, генерирует в системе процессы, стремящиеся уменьшить влияние внешнего воздействия. Это некий глобальный принцип отрицательной обратной связи. Правило Ленца мы обосновали строго, а оно было отправной точкой при формулировании принципа Ле-Шателье, к которому мы еще вернемся в термодинамике.

2. Контур, вращающийся в постоянном однородном магнитном поле (рис.19.2). Устройство, которое мы сейчас рассмотрим, может быть использовано в качестве генератора переменного напряжения, меняющегося по гармоническому закону с частотой, равной частоте вращения контура.

Контур – круговой виток радиуса , вращается с угловой скоростью . На рис.19.2 показан общий вид a), проекция на плоскость перпендикулярную оси вращения b), проекция на плоскость контура с). В произвольный момент времени угол между вектором и вектором площадки контура равен . Тогда в куске контура появится сила Лоренца, действующая на свободные носители. Если контур разомкнут, эта сила уравновесится кулоновской силой так, что

.

Рис.19.2

Циркуляция электрического поля по всей длине кольца равна:

.

И в этом случае получили ЭДС, возникающую в контуре, пропорциональную скорости изменения магнитного потока, пронизывающего площадку, ограниченную контуром.

3. Неподвижный неизменный контур в переменном магнитном поле. М.Фарадей, изучая открытое им явление электромагнитной индукции, экспериментально проанализировал всевозможные способы получения индукционного тока в контуре. При анализе электромагнитной индукции переход от индукционных токов, которые сложнее описать, к ЭДС сделал Максвелл. Неважно за счет чего меняется во времени магнитный поток, пронизывающий контур, всегда возникающая при этом в нем ЭДС оказывается равна:

. (19.2)

Это выражение называют законом электромагнитной индукции Фарадея. В случае переменного магнитного поля и неподвижного неизменного контура

.

Частная производная по времени использовалась потому, что все остальные параметры постоянны. Этот случай говорит нам о том, что с переменным магнитным полем связано вихревое (переменное же в общем случае) электрическое поле. Интегральная связь между ними:

. (19.3)

Связь в дифференциальной форме, вытекающая из определения электрического поля, дается уравнением (19.1). Это же уравнение может быть получено из (19.3) после использования теоремы Стокса:

.

Резюме: переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.