Циркуляция магнитного поля

Для всех проводников с токами, которые мы рассмотрели в предыдущем параграфе, циркуляция магнитного поля по любому замкнутому контуру равна , где - ток, протекающий через площадку, ограниченную контуром.

Покажем это на примере длинного прямого проводника с током. Циркуляция по контуру (рис.17.1) будет равна:

.

В этом случае контур охватывает проводник с током.

Рис.17.1

Циркуляция по контуру будет равна:

В этом случае контур (специальной формы) не охватывает проводника с током. Этот результат можно обобщить на контур произвольной формы. Поскольку циркуляция аддитивна (Механика, §22), то циркуляция по контуру будет равна сумме циркуляций по маленьким контурам. Их форма может совпадать с формой контура . Контур мы также можем взять произвольной формы, представив его в виде набора элементов двух типов: элементы, направленные по радиусу (для них вклад в циркуляцию равен нулю также как и для элементов ad и bc контура ) и элементы, представляющие собой куски окружностей разного радиуса. Более того, результат не изменится, если замкнутый контур не будет лежать в плоскости, перпендикулярной проводнику.

Мы можем обобщить полученный результат следующим образом: циркуляция магнитного поля по произвольному замкнутому контуру будет равна , где - ток, протекающий через площадку, ограниченную контуром. В силу принципа суперпозиции полей можно утверждать, что для нескольких проводников с токами

, (17.1)

где суммирование ведется по всем проводникам, которые охватывает контур интегрирования. Если циркуляция вычисляется по контуру в проводящей среде с током, характеризуемым в каждой точке вектором , то сумма справа в (17.1) перейдет в интеграл

, (17.2)

который вычисляется по площадке, ограниченной замкнутым контуром.

Используя теорему Стокса, можно от интегрального соотношения (17.2) перейти к дифференциальному соотношению между магнитным полем и током его порождающим:

. (17.3)

Получили знакомый нам из гидродинамики результат: ротор аксиального поля дает нам вихревое поле, ротор которого нам опять дает аксиальное поле (Механика, §26, решение задачи Стокса):

.

Можно доказать справедливость дифференциального соотношения (17.3) исходя из общих определений, воспользовавшись векторным анализом.

Все магнитные поля для симметричных проводников с токами, которые мы рассмотрели в §16, могут быть получены с помощью уравнения (17.2), которое называют теоремой о циркуляции магнитного поля.