Магнитное поле проводников с токами

Магнитное поле в произвольной точке, созданное одним движущимся зарядом , лучше всего определить в цилиндрических координатах (рис.16.1), совмещая ось z с направлением движения заряда. Рассмотрим заряд в тот момент времени, когда он находится в начале системы координат.

Рис.16.1

Векторный потенциал в этом случае равен:

.

Магнитное поле, в свою очередь будет равно:

. (16.1)

Мы здесь использовали оператор Гамильтона в цилиндрических координатах , а также вытекающее из условия равенство . Окончательный результат выражен через векторное произведение .

Если в начале координат находится кусок проводника с током , характеризуемый вектором , то магнитное поле, созданное этим током будет равно (закон Био-Савара):

. (16.2)

Пользуясь этим результатом, можем найти магнитное поле вблизи некоторых симметричных проводников с токами. Для этого интегрируем выражение (16.2) по всей длине проводника.

1. Для прямого длинного проводника с током (рис.16.2а) магнитное поле на удалении от него будет равно:

. (16.3)

Рис.16.2

При вычислении интеграла мы использовали уравнения связывающие переменные: . Для указанных пределов интегрирования мы движемся вдоль проводника из в . Силовые линии получившегося магнитного поля – концентрические окружности (рис.16.2b).

2. Магнитное поле на поверхности длинного прямого цилиндрического проводника радиуса с током постоянной плотности (рис.16.3).

Рис.16.3

Результирующее поле в любой точке на поверхности будет направлено по касательной, поэтому прежде чем интегрировать магнитное поле, созданное током через произвольную площадку , вектор нужно спроектировать на направление касательной . После интегрирования по всему сечению проводника получим:

.

Поскольку произведениеравно силе тока в проводнике, магнитное поле на поверхности проводника будет определяться выражением (16.3). Поле вне проводника также будет определяться этим выражением.

3. Магнитное поле плоского листа с током. Пусть линейная плотность тока , где - толщина листа с током, а вектор плотности тока параллелен оси y (рис.16.4а). Тогда искомое поле может быть найдено интегрированием магнитного поля полоски с током . На рисунке видно, что для двух симметрично расположенных полосок 1 и 2 проекции магнитного поля на ось z компенсируют друг друга. Поэтому результирующее поле будет направлено вдоль оси x, и мы вычисляем

Рис.16.4

интеграл для проекции:

. (16.4)

При замене переменных мы пользовались уравнениями связи . Для безграничного листа с током получили однородное магнитное поле во всем пространстве, силовые линии которого показаны на рис.16.4b. Естественно, что для проводников конечных размеров, полученный результат будет справедлив вдали от краев на небольшом удалении от плоскости проводника.

4. Магнитное поле на оси кругового витка с током. Если рассмотреть магнитные поля и (рис.16.5a,b), созданные токами в кусках кругового витка и , которые расположены диаметрально противоположно, то видно, что результирующее поле будет направлено по оси z.

Интегрируя, для проекции в точке на оси z кольца с током получим:

. (16.5)

Рис.16.5

Магнитное поле кругового витка с током иллюстрирует рис 16.5c. Силовая линия на оси витка приходит из и уходит в . Видно, что это поле очень неоднородно. Однако, используя два витка (на практике две катушки с N витками) разнесенных по оси z на расстояние примерно равное радиусу витка, можно получить почти однородное магнитное поле в пространстве между витками вблизи оси. Витки (катушки) соединяются последовательно, в них течет одинаковый ток. Подобное устройство называется катушками Гельмгольца.

5. Магнитное поле соленоида. Для получения более сильного однородного магнитного поля, чем у катушек Гельмгольца, используют соленоид – катушку, равномерно намотанную на цилиндрическую поверхность (рис.16.6a,b). Зная параметры соленоида - радиус цилиндрической поверхности, - длину соленоида, - число витков, можем определить число витков на единицу длины при равномерной намотке катушки. Тогда в слое соленоида толщиной оказывается витков.

Рис.16.6

Магнитное поле, созданное токами в витках этого слоя в произвольной точке на оси с координатой внутри соленоида будет равно:

.

Поле в этой точке, созданное всем соленоидом с током , получим после интегрирования по всей длине соленоида:

.

В частности, для бесконечно длинного соленоида, угол меняется от до . Магнитное поле внутри него будет однородным и равным

. (16.6)

Вне соленоида будет слабое поле, совпадающее с магнитным полем прямого проводника с током (16.3), поскольку вдоль соленоида течет ток . Обмотка соленоида – спираль, пусть с малым, но конечным, равным диаметру проволоки, шагом.