Запаздывающие потенциалы

Все наши рассуждения о скалярном и векторном потенциалах начинались с определений (4.2) и (10.2). Мы определяли потенциалы в произвольной точке в момент времени в - системе отсчета и в момент времени в - системе отсчета. В силу конечности скорости распространения электромагнитного (как, впрочем, и всякого другого) взаимодействия потенциалы в определенный момент времени не могут определяться положением зарядов в этот момент времени. Потенциал, созданный движущимся зарядом в определенной точке пространства в определенный момент времени, будет определяться положением этого заряда в предшествующий момент времени. Потенциал в этом случае будет называться запаздывающим потенциалом.

Общее описание поля для нескольких движущихся зарядов становиться исключительно громоздким, поскольку эти “предшествующие моменты времени” для каждого движущегося заряда будут различны. Действительно, сдвиг во времени для заряда равен . Он определяется расстоянием от заряда до точки в пространстве, где мы определяем поле.

Определим потенциал поля, созданный движущимся вдоль оси х со

скоростью стержнем с собственной длиной и зарядом .

Рис.13.1

Если стержень покоится (рис.13.1а), то потенциал в точке наблюдения Р будет равен:

.

Для , раскладывая логарифм в ряд Тейлора по малому параметру , получим очевидный результат:

.

Теперь определим потенциал электрического поля в точке наблюдения Р, созданный движущимся стержнем (рис.13.1b).

Для абстрактного точечного заряда потенциал в точке наблюдения в момент времени будет определяться положением этого заряда в момент времени :

. (13.1)

Для заряда в начале стержня в точке А и в конце стержня в точке B справедливы следующие соотношения:

,

.

Вычитая из первого уравнения второе, получим:

.

Первое слагаемое в квадратных скобках – “эффективная” (увеличенная) длина стержня , для которого положения концов определяются в разные моменты времени. Второе слагаемое в квадратных скобках – длина движущегося стержня , определенная в момент времени . Учет сокращения длины движущегося стержня не принципиален, поскольку полный заряд стержня – величина инвариантная. Поэтому при сокращении длины стержня растет линейная плотность заряда . Линейная плотность заряда в стержне с увеличившейся “эффективной” длиной остается неизменной, равной . Временная разность - это разность времени передачи информации о положении начала и конца стержня “эффективной” длины . Учитывая вышесказанное, получим уравнение

,

из которого “эффективная” длина стержня будет равна:

.

Потенциал в точке наблюдения Р получим после интегрирования по длине :

.

Если точка наблюдения Р будет находиться в направлении перпендикулярном направлению движения заряда, то потенциал электрического поля будет равен . Обобщая полученный результат для произвольной точки наблюдения получим, что потенциал электрического поля движущегося заряда равен:

, (13.2)

где определяется в запаздывающий момент времени. Различие между (13.1) и (13.2) мы можем понимать так, что абстрактных точечных зарядов не существует. Любой объект имеет протяженность, и точечным мы его считаем только при выполнении условия .

После определения скалярного потенциала движущегося заряда можем определить и векторный потенциал:

. (13.3)

Потенциалы (13.2, 13.3) называют потенциалами Лиенара-Вихерта (A.M.Lienard-E.Wiechert, 1898).