Стохастические системы. Характеристики и определения

Часто на систему действуют различные возмущающие воздействия, имеющие случайный или стохастический характер.

Стохастический процесс - это семейство случайных функций времени. Каждая отдельная функция времени называется реализацией процесса.

Пусть n­₁(t), n₂(t), …,n_n(t) - скалярные стохастические процессы, тогда

V(t) = (n­₁(t), n₂(t), …,n_n(t)) ­^Т (8.1)

векторный стохастический процесс. Пусть его компоненты принимают действительные значения. t>= t₀, t₀ – задано.

Стохастический процесс может быть определен заданием совместного распределения вероятностей

P ( v(t₁) £v₁, v(t₂) £v₂, …, v(t_m) £v_m, ) (8.2)

Для всех действительных значений v₁, v₂, …, v_m, t₁ , t₂ , …, t_m и для любого натурального m.

Запись v(t_i) £v_i означает

n­_j (t_i ) £ n_ij , j = 1,2, …, n, i = 1,2,…, m. (8.3)

Т. к. (8.2) известно не всегда, то часто пользуются не менее ёмкими характеристиками, характеризующими совместное распределение.

Стохастические процессы могут быть стационарными и нестационарными.

Определение. Стохастический процесс V(t) является стационарным, если

P ( v(t₁) £v₁, v(t₂) £v₂, …, v(t_m) £v_m, ) = P ( v(t₁ + q) £v₁, v(t₂ + q) £v₂, …,

v(t_m + q) £v_m, ) (8.4)

Для любых t₁ , t₂ , ……,t_m , v₁ , … , v_m , для каждого m и для всех q.

Т.о. стационарный процесс инвариантен относительно начала отсчета.

Определение. Пусть V(t) – векторный случайный процесс. Тогда

m(t) = E[ v(t) ] (8.5)

вектор средних значений процесса;

R_v(t₁ ,t₂) = E {[ v(t₁ ) - m(t₁ )] [ v(t₂ ) - m(t₂ )]^T} (8.6)

ковариационная матрица процесса;

C_v (t₁, t₂ ) = E [ v(t₁ ) v ^T (t₂ )] (8.7)

матрица смешанных моментов второго порядка;

R _v (t ,t ) = Q (t) (8.8)

матрица дисперсий и

C _v (t ,t ) = Q' (t) (8.9)

матрица моментов второго порядка.

Из (8.6) и (8.7) видно, что если m(t) = 0, то R_v(t₁ ,t₂) = C_v (t₁, t₂ ). Развернутая запись матриц имеет вид

[n₁(t₁)n₁(t₂)] [n₁(t₁)n₂(t₂)] ….. [n₁(t₁)n_n(t₂)]

C_v (t₁, t₂ ) = E [n₂(t₁)n₁(t₂)] [n₂(t₁)n₂(t₂)] ….. [n₂(t₁)n_n(t₂)]

…………………………………… ……..

[n_n(t₁)n₁(t₂)] [n_n(t₁)n₂(t₂)] ….. [n_n(t₁)n_n(t₂)]

Можно доказать, что R_v(t₁ ,t₂) и C_v (t₁, t₂ ) имеют следующие свойства:

а) R _v (t₂ ,t₁) = R^T _v (t₁ ,t₂) для любых t ₁, t _{2 ;}

C _v (t₂, t₁ ) = C^T _v (t₁, t₂ ) для любых t ₁, t _{2 ;}

б) Q (t) = R _v (t, t ) ³ 0 " t;

Q' (t) = C _v (t , t ) ³ 0 " t;

в) C _v (t₁, t₂ ) = R _v (t₁ ,t₂) + m (t₁)m^T(t₂) для любых t ₁, t ₂ .

Если v(t) - стационарный стохастический процесс, то его среднее значение постоянно, а ковариационная матрица зависит только от сдвига аргументов (t₁ – t₂) . Стохастический процесс v(t) является стационарным в широком смысле, если его матрица моментов второго порядка C_v (t, t) конечна для всех значений времени t.

8.2. Спектральное разложение

Преобразование Лапласа осуществляется с помощью функции e ^pt , где

р = s + iw - комплексная переменная. В задачах управления t – время, которое принимает значения от - µ до + µ. Величины, получающиеся при решении задач управления должны быть конечными и при t ® ± µ т.к.

e ^pt = e ^st e ^iwt = e ^st (cos wt + i sin wt),

и |cos wt + i sin wt| = 1, то при s > 0 |e ^pt| ®µ при t ®µ и при s < 0 |e ^pt| ®-µ при t ® - µ. Поэтому, чтобы экспонента была ограниченной необходимо иметь s=0, т.е. чтобы использовались только «гармоники»

e ^iwt = cos wt + i sin wt (8.11)

Суммы гармоник

f(t) =a _k e ^iw_k ^t (8.12)

позволяют получать более сложные функции времени.

Набор частот w_k в (8.12) называется спектром функции f(t). Используя (8.11) и cos wt = (e ^iwt + e ^{- iwt})/ 2, sin wt = (e ^iwt - e ^{- iwt})/ 2 i (8.13)

можно переходить от экспонент к косинусам и синусам и наоборот.

Формула (8.12) дает дискретный спектр, т.к. w_k - дискретные значения.

Если вместо дискретных использовать непрерывные значения, т.е. функцию F(w), то получится непрерывный спектр разложения функции f(t):

f(t) =F(w)e^iwtdw (8.14)

при котором частота может занимать всю ось или любую её часть.

В (8.14) на малый интервал частот [w, w + dw] приходится слагаемое и, сравнивая с (8.12), видим, что это амплитуда колебаний, соответствующая заданному интервалу частот. Т.о. можно рассматривать как плотность амплитуды, соответствующей заданному интервалу частот, поэтому называют спектральной плотностью функции f(t).

Используя представление комплексной функции с помощью двух вещественных функций , т.е.

и тригонометрическое представление экспоненты, можно получить следующее представление вещественной функции f(t):

(8.15)

Вспомним простые факты из теории колебаний. Пусть имеется колебательный контур – осциллятор с малым сопротивлением (слабым затуханием). Если он испытывает гармоническое внешнее воздействие с частотой w, то в нём возбуждаются гармонические вынужденные колебания с той же частотой. Амплитуда этих колебаний тем больше, чем ближе w к w₀ - собственной частоте колебаний осциллятора. Эта избирательность осциллятора выражена тем сильнее, чем меньше затухание. В предельном случае, когда затухание отсутствует вовсе, при w = w₀ наступает явление резонанса, при котором амплитуда растёт неограниченно. Если гармонический внешний сигнал подводится к системе осцилляторов с разными собственными частотами, то отзовётся на сигнал тот из них, у которого собственная частота ближе к частоте воздействия.

Если на такую систему воздействует смесь гармоник, т.е. воздействие вида (8.12), то на них отзовутся те осцилляторы, у которых собственные частоты совпадают с какой-либо из внешних частот w_к . При этом амплитуда вынужденных колебаний осциллятора с собственной частотой w_к будет пропорциональна амплитуде а_к внешнего воздействия на этой частоте.

Аналогичная картина получается при наложении непрерывного воздействия (8.14). Т.о. система осцилляторов позволяет осуществлять гармонический или спектральный анализ внешнего воздействия. Формулы (8.14), (8.15) позволяют по спектральной плотности восстановить функцию f(t). Обратная операция выполняется для конечной функции f(t) при t ®± ¥ по формулам:

(8.16)

или (отдельно для действительной и мнимой частей):

(8.17)

при этом, как и раньше, .