и на её примере покажем наиболее простой способ определения оптимального в некотором смысле управления. Смысл оптимальности обычно определяется критерием или “закладывается” в него.
Будем управлять состояниями и введем критерий
x T(i+1) V1(i+1) x(i+1) + uT(i) V2(i) u(i) ® min (7.20)
В критерии - два слагаемых, являющихся квадратичными формами. Будем считать, что состоянием является отклонение соответствующих величин от заданных значений. Тогда первое слагаемое в (7.20) представляет собой квадратичную форму от этих отклонений. Матрица V1 задает приоритеты отклонениям состояний, ранжирует их по важности. Для наглядности предположим, что весовая матрица V1 диагональная. Тогда первое слагаемое в (20) в развернутом виде выглядит так:
x T(i+1) V1(i+1) x(i+1) = V1 kk (i+1)x2k (i+1)
и представляет сумму квадратов ошибок состояний.
Второе слагаемое в (7.20) по структуре полностью совпадает с первым, но представляет квадратичную форму от управлений и является нежестким ограничением на их величину.
Если мы будем варьировать значения матрицы V1 по отношению к V2, то мы можем переносить ограничения с u на x.
Заметим, что в (7.20) не входит начальное состояние, которое задано, т.к. на него мы не можем воздействовать, и не входит управление в последний момент времени, т.к. оно влияет на состояния в момент времени после рассматриваемого.
Задача оптимального управления состоит в том, что нужно найти последовательность управляющих воздействий u(i0+1), u(i0+2)…, которая обеспечивает выполнение (7.20).
Можно было бы эту задачу попытаться решить “в лоб”, т.е. выписать выражения для всех х от х(i0) до конечного x(N). Из xR, u RN*r решений – размерность слишком велика. Целесообразным будет попытаться свести эту N*r – мерную задачу к N задачам r – й размерности.
Для устранения этой проблемы используется принцип оптимальности Беллмана.
Теорема. При любом начальном состоянии и оптимальном начальном управлении последующее управление должно быть оптимальным относительно состояния, возникшего в результате начального управления.
Доказательство производится от противного. Рассмотрим на некотором интервале времени t1£ t £ t2 систему S с вектором управления u и вектором состояния x . Время может быть дискретное или непрерывное, концы могут быть свободными или закреплёнными. Пусть Q некоторый критерий качества, который оптимизируется на заданном интервале [t1, t2], например, минимизируется.
Допустим, что существует, по крайней мере, одно управление u(t), удовлетворяющее всем ограничениям и минимизирующее Q на [t1, t2], обозначим это оптимальное управление u0(t), а соответствующее ему значение критерия Q0.
Рассмотрим некоторый момент времени t’ Î[t1,t2] и предположим, что на интервале [t’,t2] существует управление u*(t), для которого значение критерия Q меньше, чем для u0(t) на этом же интервале и при том же начальном состоянии. Поэтому комбинированное управление
обеспечивает значение критерия Q**< Q0 на интервале [t1,t2]. Но по условию u0(t) является оптимальным управлением, которое не может быть улучшено. Следовательно, имеем противоречие, которое и доказывает теорему.
Принцип оптимальности позволяет сформулированную выше задачу определения вектора управлений размером N*r – мерную задачу разделить на N r-мерных задач. При использовании принципа оптимальности решение осуществляется в обратном порядке, т.е. сначала определяется управление u(N-1), переводящее систему в конечное состояние x(N) из состояния x(N-1). При этом в соответствии с принципом оптимальности принимается, что управление u(N-1) должно быть оптимально относительно состояния x(N-1). Так что последнее управление будет в соответствии с принципом оптимальности оптимальным. Затем определяется управление u(N-2) и т.д. до u (0).
Рассмотрим решение одношаговой задачи определения u(N-1).
Матрица S(N-1) называется матрицей обратной связи системы управления.
Далее можно подставить найденное управление в критерий и найти его значение. Затем решается двухшаговая задача. Положив
Q2={[xT(N-1)V1(N-1)x(N-1)+uT(N-2)V2(N-2)u(N-2)] +
+ [xT(N)V1(N)x(N) + uT(N-1)V2(N-1)u(N-1)]}, т.к. выбор u(N-1) не влияет на x(N-1) , а x(N) уже определено и минимальное значение критерия Q1 уже найдено, то для минимизации Q2 достаточно решить задачу
Из (7.27) видно, что для определения u(N-2) нужно решить такую же задачу, которая была рассмотрена для u(N-1), т.к. (7.27) ничем не отличается от (7.23).
Дальше процедура определения управлений на всех шагах до u(0) абсолютно одинакова.
Кроме того, можно получить, что управления на каждом следующем шаге и значения критерия оптимальности выражаются с помощью рекуррентных формул через предыдущие, что делает процедуру определения оптимального линейного регулятора для многошагового процесса достаточно простой при цифровой реализации.
V1 kk (i+1)x2k (i+1)
R
, u 
R
N*r решений – размерность слишком велика. Целесообразным будет попытаться свести эту N*r – мерную задачу к N задачам r – й размерности.
[xT(N)V1(N)x(N) + uT(N-1)V2(N-1)u(N-1)] (7.22)
= 2xTATV1B + 2uT[BTV1B + V2] = 0.