Общий алгоритм определения стабилизирующей обратной связи

Пусть теперь b(D) произвольный многочлен степени не выше n. В этом случае передаточная функция по каналу управление – выход строго реализуема. Примем закон управления в более общем, чем (6.20) виде. Примем, что обратная связь строится в виде решения уравнения

m(D)u_f(t) = - k(D)y(t) (6.27)

где m(D) - произвольный многочлен, отличный от нуля.

При m(D) =1 имеем частный случай (6.20). Часто встречается более общий закон ПИД (пропорционально интегрально дифференциальный)

u_f(t) = - k₀ ò y(t) dt - k₁ y(t) - k₂ dy(t)/dt , что эквивалентно дифференциальному уравнению

Du(t) = - ( k₀ + k₁D + k₂D²) y(t), (6.28)

записываемому в виде (6.27) при m(D) =D.

Подставим в уравнение объекта (6.12) закон управления u(t) = u_f(t) + u_n(t), где u_n(t) - программное управление. Тогда уравнение объекта (6.12) и уравнение обратной связи (6.27) образуют систему:

a(D) y(t) = b(D)[ u_f (t) + u_n (t)] + g(D) v(t), (6.29)

m(D)u_f(t) = - k(D)y(t).

Исключив обратную связь и преобразовав по Лапласу, получим

[a(p)m(p) + b(p) k(p)]Y(p) = m(p)[b(p) U_n(p) + g(p)V(p)] (6.30)

Характеристический полином замкнутой системы имеет вид

D(p) = a(p) m(p) + b(p) k(p) (6.31)

Теорема 1. Пусть многочлены a(р) ,b(р) являются взаимно простыми. Тогда многочлены k(p), m(p) , определяющие вид обратной связи (6.27) могут быть выбраны так, что характеристический многочлен замкнутой системы D(р) имел произвольные наперед заданные коэффициенты, т.е. заданное расположение корней.

Следствие. Пусть многочлены являются взаимно простыми или имеют в качестве наибольшего общего делителя устойчивый многочлен. Тогда можно выбрать обратную связь вида (6.27), обеспечивающую устойчивость замкнутой системы при неустойчивом объекте. В противном случае стабилизация объекта невозможна.

В итоге можно сформулировать алгоритм стабилизации объекта, заданного в виде (6.12)

1. Найти наибольший общий делитель a₀(р) многочленов a(р) и b(р). Если он неустойчив, то стабилизация невозможна. Если a₀(р) устойчив, то следует выделить взаимно простые многочлены

a₁(p) = a(p) / a₀(p), b₁(p) = b(p) / a₀(p).

Пусть ( Degree - степень) deg(a₁)=n, deg(b₁)=m, так что a₁ = рⁿ + p^n-1 +.....

2. Выбрать n+m -1 чисел l₁ , l₂ , ... , l_{n +m -1} c отрицательными вещественными частями и составить многочлен

D^d(p) = (p - l₁) (p - l₂) ....(p - l_{n + m -1}) = p^{n + m - 1} + D_{n + m - 2} p^{n + m -2} + ....+ D₀

3. Из тождества a₁(p) m(p) + b₁(p) k(p)=D^d(p) найти n+ m линейных уравнений относительно n + m неизвестных коэффициентов многочленов:

k₁(p)=k₁₀+k₁₁p+ ....+k_{1n -1} p^{n -1} ,

m₁(p) = m₁₀ + m₁₁ p +....+m_{1m - 1} p^{m - 1}

4. Найти решение этих уравнений, т.е. вычислить значения этих коэффициентов

5. Записать стабилизирующий закон управления в виде дифференциального уравнения (6.27). Это уравнение однозначно определяет закон изменения u(t), если только заданы начальные условия, т.е. m-1 начальных значений u(t) и его производных. Задание этих значений не влияет на сам факт обеспечения устойчивости замкнутой системы.