Стабилизация с помощью обратной связи

Программное управление реализует принцип выбора управления (6.8). Если есть возможность наблюдать результат управления , т.е. значения выходной переменной прямо или косвенно, то всегда следует использовать эту информацию для управления и стабилизации системы. Даже исходно неустойчивую систему введением обратной связи можно сделать устойчивой, т.е. стабилизировать.

Пусть система описывается уравнением

a(D) y(t) = b₀ u(t) + g(D) v(t), (6.18)

определим управление в виде двух составляющих

u(t) = u_f (t) + u₀(t), (6.19)

где первая составляющая - обратная связь, а вторая какое-либо другое управление.

Определим u_f (t) = -k(D) y(t) (6.20)

где k(D) = k₀ + k₁D + ....+ k_rD^r , (6.21)

т.е. (6.21) предполагает, что мы можем измерять y(t), y’(t), .... , y^{( r )}(t) или вычислить их. Подставим (6.20) в (6.19), а (6.19) в (6.18)

[a(D) + b₀ k(D)] y(t) = b₀u₀(t) + g(D) v(t) (6.22)

Отсюда видно, что характеристический полином системы изменился: был a(р), стал

D(р) = a(р) + b₀ k(p) (6.23)

Пусть D^d(p) - устойчивый полином, выберем D^d(p) = a(р) + b₀ k(p), тогда если

k(p) = (D^d(p) - a(р))/b₀ (6.24)

то система будет устойчивой. Следовательно, подбирая k(p) можно влиять на свойства системы, например, обеспечивая устойчивость.

Пример. Объект (TD³ + D²)y = 0 неустойчив.

Его характеристический полином Tp³ + p² = 0;

p₁ = -1/T, p₂ = p₃ = 0.

Введем обратную связь в виде u = -k₀y - k₁Dy - k₂D²y и подставим её в (6.18)

(TD³ + D²)y = - k₀y - k₁Dy - k₂D²y

или [TD³ +(1 + k₂) D² + k₁D + k₀] y = 0. Характеристический многочлен будет

Tр³ +(1 + k₂) р² + k₁р + k₀ = 0. Определим его коэффициенты так, чтобы все корни были отрицательными, например - с^-1, где с > 0. (p + 1/c)³ = 0, p³ + (3/c) p² + (3/c² ) p + 1/c³ = 0. Приравниваем коэффициенты 3/c=(1+k₂)/ T ® k₂ = (3T/c)-, аналогично k₁ = 3T/c², k₀ = T/c³.

Величину с можно варьировать и тем самым влиять на скорость затухания эффектов от ненулевых начальных условий.

Характеристический многочлен всегда можно привести к виду

a(p) = pⁿ + a_n-1 p^n-1 + ... + a₁p + a₀.

Пусть желаемый устойчивый полином имеет вид

D^d(p) = pⁿ + D^d_n-1 p^n-1 + .... + D^d₁p + D^d₀ .

Выбором коэффициентов D^d_n-1 , ... , D^d₀ можно задать любое расположение корней на комплексной плоскости. Тогда в соответствии с (6.24) k(p) является многочленом степени n -1

k(p) = k_n-1 p^n-1 + .... + k₁p + k₀ (6.25)

где k_i = (D^d_i - a_i) / b₀ , i = 1, 2, ..., n-1 (6.26)