Цель управления , идеальное управление.

Общую схему объекта и системы управления можно представить в виде

r(t) – эталонная переменная (заданное желаемое значение управляемой переменной z)

y – наблюдаемая переменная

v_P – возмущающая переменная

v_m - шум наблюдений

Цель управления.

Целью управления является по возможности

z(t) » r(t), t³t₀ (6.7)

Разомкнутый регулятор u(t) = f_p [r(t), t₀£t£ t], t³t₀ (6.8)

Замкнутый регулятор u(t) = f_з [r(t), t₀£t£ t; y(t), t₀£t£ t], t³t₀ (6.9)

Объект + регулятор = система управления.

Идеальное управление

Будем считать y(t) = z(t), т.е. мы наблюдаем именно управляемую переменную. r(t) - заданное значение выходной переменной.

Если

1) необходимо, чтобы y(t) ® r(t), t ³ t₀ – задача слежения

2) r(t) = r₀ " t ³ t₀ – задача регулирования, стабилизации

Пусть e(t) = y(t) - r(t) (6.10)

e(t) = 0 " t ³ t₀ (6.11)

Это – идеальное управление. Говорят , что система инвариантна по отношению к действующим возмущениям. Пусть объект описывается линейными дифференциальными уравнениями. Воспользуемся для краткости при записи дифференциальных уравнений оператором дифференцирования, введенным в п.п. 5.1.2. , т.е. запишем их в виде (5.17) и т. к. мы будем определять управление, то разделим на две составляющих вектор w(t) = [u(t), v(t)], а именно на управление u(t) и возмущение v(t). Тогда уравнения для состояний и для выходных переменных системы можно записать в виде

y(t) = x(D) x(t)

Подставляя 1-е во 2-е, находим для выходной (управляемой) переменной выражение

a(D) y(t) = b(D) u(t) + g(D) v(t), (6.12)

где a, b, g - многочлены от оператора дифференцирования, которые выражаются через ,, ,x.

Подставим (6.10) в (6.12) a(D)[r(t) + e(t)] = b(D) u(t) + g(D) v(t), отсюда ошибка

a(D) e(t) = b(D) u(t) + g(D) v(t) -a(D) r(t), (6.13)

Примем два условия

1) e(t), e’(t), e’’(t),...,e^(n-1) = 0, n - степень a;

2) многочлены a, b, g и значения г(t), v(t), t ³ 0 известны точно.

Тогда из (6.13) в соответствии с (6.11) можно определить инвариантное управление

b(D) u(t) = a(D) r(t) - g(D) v(t) (6.14)

При управлении (6.14) ошибка будет равна нулю

a(D) e(t) = 0 при e(t) = e’(t) = .... =0 (6.15)

Идеальное управление особенно просто получить, если b(D) =b₀=const

u(t) = b₀^-1 ( a(D) r(t) - g(D) v(t)) (6.16)

Пример. (TD+1)y(t) = u(t) - объект ; y(0) = 0, b₀ = 1. r(t) = C´ t ´1(t), C - const, t³0.

По (6.16) получим u(t) = 1´ (TD + 1)´C´ t´ 1(t) = C(T + t)´ 1(t), t ³0.

При b(D) ¹ const (6.14) можно преобразовать по Лапласу и найти соответствующий образ U(p)

U(p) = [a(p) / b(p)] R(p) - [g(p) / b(p)] V(p) (6.17)

Оригинал u(t) L - образа U(p) и будет управлением, обеспечивающим инвариантность системы.

Так что при предположениях 1), 2) всегда найдется инвариантное управление. Однако оно может быть не ограничено, а предположения 1) и особенно 2) не выполнимы на практике.

Влияние неточности модели

Пример. Объект (D - 1)y = u(t) + v(t), r(t) = 0, v(t) = C 1(t) тогда получаем

0 = u(t) + v(t), u(t) = - v(t) .

Если С известно не точно и ¹ C, то имеем

(D - 1)y = 1(t) - C 1(t) = (- C) 1(t) и выход определится в виде

y(t) = (e^t - 1)( - C) 1(t)

если даже (- C) мала, то все равно при t®¥ выходная величина станет сколь угодно большой.

Отсюда следует, что программное управление весьма чувствительно к неточностям модели и приводит к неустойчивости объекта с длительным временем функционирования.