Устойчивость линейных стационарных систем

Рассмотрим систему (t) = Ax(t) (5.52)

Теорема 1. Пусть А - n´n матрица, l₁ ,l₂, l₃,..., l_n её различные характеристические числа, а e₁ , e₂, ..., e_n соответствующие собственные векторы.

Определим n´n матрицы T = (e₁, e₂ ,..., e_n), (5.53)

L = diag ( l₁, l₂ ,..., l_n ) (5.54)

тогда Т не особая и А может быть представлена в виде

А = ТL Т^-1 (5.55)

Говорят, что в этом случаеТ диагонализирует А.

Формулу (5.55) можно также записать в виде TА Т^-1 = L

Кроме того имеет место факт а) e ^At = T e ^Lt T^-1 (5.56)

б) e ^Lt = diag (e ^lt , e^lt , ...., e ^lt ) (5.57)

Теорема 2 . Имеем систему (5.52) , где А удовлетворяет условиям теоремы 1 Запишем Т^-1 в виде

(5.58)

где f_i строки из собственных векторов. Тогда решение (5.52) при t₀ =0 может быть записано в виде

x(t) = å_iⁿ e^lite_i f_i x(0), или обозначив скалярные произведения f_ix(0) = m_i, то решение можно записать в виде

x(t) = å_iⁿ m_i e ^lit e_i (5.59)

Отсюда видно, что реакция системы может быть представлена в виде комбинации движений по собственным векторам матрицы А. Такое движение называется модой системы. Каждая мода имеет соответствующие компоненты по собственным векторам и возбуждается соответствующим начальным условием. Диагонализация упрощает определение реакции системы. Если корни кратные , то в (5.55) вместо L будет стоять жорданова норм форма матрицы А, где на месте кратного корня l_i кратности m_i будет стоять блок размера m_i ´ m_i , а реакция кроме членов exp(l_it) будет включать в (5.59) и члены вида

t exp (l_it), t² exp (l_it), t³ exp (l_it), ....., t^m-1 exp (l_it).

Из (5.59) видно, что реакция есть сумма экспонент и следовательно система будет устойчива при любых m_i, если все l_i < 0.

Теорема 3. Система с постоянным параметрами (5.52) является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда все характеристические числа матрицы А имеют строго отрицательные действительные части.