Определение устойчивости систем

Случай а соответствует устойчивому состоянию системы, б – неустойчивому, в - безразличному

(t) = f(x(t), u(t), t) (5.48)

При анализе исследуется поведение решения уравнения (5.48) при t®¥.

Пусть u(t) = const = 0 – анализируется поведение уравнения без внешних воздействий.

(t) = f(x(t), t) (5.49)

пусть х₀(t) - номинальное состояние, соответствующее решению уравнения

(t) = f(x₀(t), t) (5.50)

Определение 1. Пусть есть уравнение (5.49) с номинальным решением x₀(t). Номинальное решение уравнения (5.49) является устойчивым в смысле Ляпунова А.М., если для " t₀ и " e > существует d(e, t₀)>0 такое, что при || x(t₀) - x₀(t₀)|| £ d удовлетворяется неравенство ||x(t) - x ₀(t)|| < e "t ³ t₀. Здесь || x || - норма вектора х, равная корню квадратному из суммы квадратов компонент. Это слабая устойчивость.

Определение 2. Номинальное решение уравнение (5.49) является асимптотически устойчивым , если :

а) оно устойчиво в смысле Ляпунова;

б) " t₀ $ такое r(t₀) > , что в случае ||x(t₀) - x₀(t₀)|| < r имеем ||x(t) - x₀(t)|| ® 0 при t ® ¥.

Определение 3. Номинальное решение уравнения (5.49) является асимптотически устойчивым в целом (большом), если:

а) оно устойчиво в смысле Ляпунова;

б)" x(t­₀) и " t₀ имеет место ||x(t) - x₀(t)|| ® 0 при t ® ¥ (5.51)

Для линейных систем устойчивость уравнений совпадает с устойчивостью систем.

Определение 4. Линейная дифференциальная система

(t) = A(t)x(t)

устойчива в определенном смысле (по Ляпунову, асимптотически, в целом) если её тривиальное решение x₀(t) = 0 устойчиво в этом смысле.