Логарифмические частотные характеристики

Логарифмической амплитудной характеристикой (ЛАХ) соответствующей передаточной функции Н(р) называется функция

L (q) = 20lg |H(jw )| (5.35)

определенная для любых вещественных значений q = lg w.

Наклоном ЛАХ называется функция dL/dq. Принято измерять значение ЛАХ в децибелах (дБ), а наклон в дБ/декаду.

Логарифмической фазовой характеристикой (ЛФХ) называется функция

y(q) = Arg H(jw) (5.36)

Особенно просто строятся логарифмические характеристики для передаточных функций. с вещественными нулями и полюсами. Передаточная функция такого типа представима в виде

H(p) = k pⁿ [П_n (T’_n p + 1)/ П_m (T_m p + 1)] (5.37)

где T’_n ,T_m - положительные постоянные времени. Пусть к - положительно, тогда ЛАХ и ЛФХ:

L (q) = 20lg k + 20 nq+ å_n 20lg | (T’_n w)² + 1 | ^1/2 - å_m20lg | (T_mw)² +1|^1/2 (5.38)

y(q) = n p/2 + å_n Arctg wT’_n - å_m Arctg wT_m (5.39)

Эти формулы сложны, но анализ показывает возможность их приближенного использования, учитывая близость к ломаной. Действительно один член

L (q) =20lg | (T_mw)² +1|^1/2

при w<< 1/T, Tw<1, (Tw)²<<1, L(0)@0,

при w> 1/T, Tw>1, (Tw)²>>1 и L(0)@ 20lg (T_mw)

Отсюда определение. Асимптотической ЛАХ , соответствующей Н(р) вида (5.37), называется кусочно-линейная функция, получаемая заменой (5.38) на асимптотические ломаные вида

(5.40)

w =1/T -сопрягающая частота, w< 1/T- низкочастотная асимптота, w> 1/T - высокочастотная асимптота.

Асимптотическая ЛФХ есть кусочно-постоянная функция, получающаяся из (5.39) заменой

(5.41)

Замечательное свойство асимптотических характеристик в том, что они строятся без вычислений по следующему алгоритму

1. Строится низкочастотная асимптота L_нч (q) = 20lg k + 20 nq

2. Упорядочиваются все постоянные времени (частоты)

T₁ > T₂ > ..... > T_n , w₁ = 1/T₁ < w₂ = 1/T₂ < .....< w_n =1/T_n

3. Положить L^ас (q) = L_нч (q) вплоть до w₁

4. Если Т₁ принадлежит числителю, то начиная с w=w₁ проводится прямая с наклоном на 20 дБ/дек больше, если знаменателю, то меньше;

5. Продолжаем до w₂ и переходим на п.4.

Пример: Н(р) = k/p[(T₂p + 1)/(T₁p + 1)(T₃ p + 1)], T₁ > T₂ >T₃