Передаточная функция (операторные характеристики)

Из дисциплин математического блока вы знаете, что существуют операторные методы описания систем и сигналов. Часто для сокращения записи используется оператор дифференцирования D. Умножение на этот оператор равносильно (обозначает) дифференцированию: @, @ ,..., @ , тогда дифференциальное уравнение

a _n + a_n-1 + ... + a₁ + a₀x = b_m +

+b_m-1+ .... + b₁+ b₀w (5.16)

можно записать в виде

a (D) x(t) = b (D) w(t) (5.17)

где a (D) @ a _n Dⁿ + a_n-1 D^n-1 + ... + a₁ D + a₀,

b (D) @b_m D^m + b_m-1D ^m-1 + .... + b₁D + b₀

Такое преобразование сводится к изменению формы записи. Существенные изменения вносит другое операторное преобразование, известное вам. Преобразование Лапласа, определяемое

(5.18),

где L - образ, f - прообраз, оригинал. Преобразование Лапласа позволяет перейти из временной области в операторную. Ценность преобразования Лапласа в том, что при нулевых начальных условиях достаточно просто связаны между собой функция, её производная и интеграл т.е. при f(0) = 0

L [] = F(p), то L[] = p F(p) и т.п.

L[Dⁿf(t)] = pⁿF(p), n³ 0, так что

L[A(D)f(t)] = A(p)L[f(t)] = A(p) F(p) (5.19)

Применив преобразование Лапласа к стационарной системе (2.7)

получим

p X(p) -x(0) = AX(p) + B W(p)

(pI - A)X(p) = x(0) + B W(p) отсюда находится X(p).

Т.к. для выходных величин уравнение y(t) = C x(t), Y(p) = C X(p)

Y(p) = C(pI - A)^-1x(0) +C(pI - A)^-1BW(p) (5.20)

Важнейшей характеристикой системы является передаточная функция, которая определяется как отношение изображений по Лапласу выхода ко входу:

H(p) = = C(pI - A)^-1B(5.21)

(pI - A)^-1 = Ф(p) - фундаментальная матрица системы или резольвента.

Ее находят, например, так.

Пусть А - n ´ n матрица с постоянными параметрами, имеющая характеристический полином det(pI-A) = pⁿ + a_n-1 p^n-1 + ... + a₁p + a₀, то резольвента Ф(p) может быть записана в виде

(a)

где , i=1,2…n,

Для определения R _i , i = 1,2,....,n можно рекомендовать следующий алгоритм , пусть

a_n = 1 , R_n = 1,

тогда , (б)

R_n-k = a_n-kI + AR _n-k+1 , k = 1, 2, ,...., n, (в)

при k = n должно быть R₀ = 0.

Это метод Сурье или Фаддеевой, который следует из алгоритма Леверье. Условие R₀ = 0 может быть использовано для проверки. Существуют и другие методы. Например, следствие из теорема Кели-Гамильтона (каждая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению) и др.

Пример: дана система

Найти Ф(p).

Решение:

Способ №1. , т.к. , тогда

, ,

Способ №2:

n=2, k=1,