Пример построения модели объекта.

Построение модели мы проиллюстрируем на примере.

Условие: дан смесительный бак (рис. 5). Растворы с концентрацией и , предназначенные для смешивания, поступают в бак по двум трубам. Скорость подачи растворов регулируется при помощи двух кранов, обозначенных на рисунке пятиугольниками. Смесь, имеющая концентрацию С, выходит из бака по специальной трубе. Учитывая, что объём, занимаемый в баке смесью равен V, а высота столба смеси равна h, построить математическую модель данного процесса и найти её характеристики.

Рис. 5

Уравнение баланса масс (1)

= c₁F₁(t) + c₂F₂(t) -c(t)F(t) (2)

Т.к. расход зависит от высоты, то можем записать:

F(t) = (3)

где К - коэффициент пропорциональности.

Если S – площадь поверхности бака, тогда

(4)

Подставим (4.) в (1) и (2), получим

(5)

(6)

Теперь проведём линеаризацию. Пусть номинальные (установившиеся) значения параметров равны , подставив их в (4)-(6), получим:

0= (7)

0= (8)

(9)

При линеаризации мы находим отклонения величин:

- управление

- состояния

Для того, чтобы линеаризовать разложим все величины в уравнениях (5), (6) в ряд Тейлора с удержанием линейных частей разложения, т.к. все они первой степени, кроме

(10)

(11)

Заменив в соответствии с (9) на , а затем, подставив (10) в (11) и обозначив (время заполнения бака), получим

(12)

X(t) - вектор состояний

U(t) – вектор управлений

Выходы

(13)

(14)

(15)

Пусть установившееся значение численно равны , , , ,

.

Подставив эти значения, получим

(16)

(17)

Данная система стационарная, следовательно, её фундаментальная матрица .

Т.к. è (18)

(19)

(20)