Временные характеристики

Мы остановимся в качестве примера на наиболее простых линейных системах.

Их движение описывается дифференциальными уравнениями вида (2.5)

= A(t)x(t) + B(t)w(t), t³t₀ (5.1)

В общем случае кроме состояний x(t), имеются выходные величины, которые могут являться алгебраической функцией состояний. Обозначим их векторомy(t) и запишем в общем виде:

y(t) = C(t)x(t) , t³t₀ (5.2)

Для того, чтобы выяснить поведение объекта, надо решить (5.1), чтобы найти x(t). Это неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение состоит из общего однородного и частного неоднородного.

Решение однородного

= A(t)x(t) (5.3)

имеет вид

x₀(t) = Ф(t,t₀) x(t₀) (5.4)

где - заданные начальные условия

где Ф(t,t₀) в соответствии с (5.3), (5.4) должна удовлетворять

(5.5)

Частное решение неоднородного уравнения

= Ф(t,t₀) v(t) (5.6)

где v(t) - неизвестная функция, которую следует определить так, чтобы удовлетворялось (5.1). Подставим (5.6) в (5.1)

= v(t) + Ф(t,t₀)

A(t) Ф(t,t₀)v(t) + Ф(t,t₀) = A(t) Ф(t,t₀)v(t) + B(t) w(t)

откуда

= Ф^-1(t,t₀) B(t) w(t)

v(t) = (5.7)

Подставим (5.7) в (5.6)

(5.8)

Общее решение: x(t) = x₀(t) + x_ч(t)

(5.9)

Свойства переходной матрицы Ф(t,t₀) :

а) Ф(t₂,t₁)Ф(t₁,t₀) = Ф(t₂,t₀) " t₀, t₁,t_2,

б) | Ф(t,t₀) | ¹ 0 " t₀, t,

в) Ф(t,t₀) = Ф(t₀,t) " t₀, t,

г) = -A_‑^T(t) Ф^T(t₀,t) " t₀, t,

Используя свойства в) и а) матрицу перед интегралом можно ввести под знак интеграла в формулах (5.8) и (5.9). В результате последняя принимает следующий вид:

(5.9a)

где первое слагаемое отражает влияние начального состояния на текущее и отображает переходной процесс, а второе – отражает влияние входных воздействий.

Ф(t,t₀) - переходная, фундаментальная матрица системы. Пояснить смысл. На ее основе получаются другие временные характеристики системы: импульсная и переходная функции системы. Добавим в рассмотрение уравнение для выходных величин (5.2)

y(t) = C(t)x(t) , t³t₀

Подставим в него (5.9)

(5.10)

Отметить смысл составляющих. Пусть x(t₀) = 0, тогда

K (t,t) = C(t) Ф (t,t) B(t), t ³ t (5.11)

(5.11) - представляет собой матричную импульсную или весовую функцию: реакция выхода y_n(t) системы на вход w_m(t) характеризуется весовой функцией k _{n m} (t,t).

Важное значение имеет интегральная характеристика, показывающая интегральную реакцию выхода на ступенчатую функцию, поданную на вход в момент времени t. Она называется матричной переходной функцией системы и определяется в соответствии с отмеченным в виде

, (5.12)

Элемент s _{n m} (t, t) характеризует интегральную реакцию выхода y_n(t) на ступенчатую единичную функцию, поданную на вход m в момент времени t: w_m(t) = 1.

Импульсная (весовая) и переходная функции являются важнейшими временными характеристиками системы, по которым можно судить о поведении системы и ее качестве. Разумеется, что для скалярной системы они будут скалярными функциями, а для матричной (многомерной) матричными, но последнее равносильно множеству характеристик, записанных отдельно для всевозможных сочетаний входов и выходов системы.

До сих пор в этом параграфе мы говорили о линейных системах общего вида. Если ограничиться классом только стационарных систем, то результаты упростятся.

Т.к. для стационарной системы (с постоянными параметрами) (2.7)

= Ax(t) + Bw(t)

фундаментальная матрица представляет собой матричную экспоненту , то (5.9), (5.10) принимают соответственно вид:

(5.13)

(5.14)

(5.15)

Матричная экспонента вычисляется по обычной формуле разложения экспоненциальной функции в ряд. Только вместо скаляра ставится матрица.