Основные виды устойчивости

Орбитальная устойчивость

Вводят понятие ε-окрестности невозмущенного движения, для чего рассматривают траекторию невозмущенного движения М₀М и строят криволинейный цилиндр радиусом ε, осью которого является эта траектория. Траектория возмущенного движения мало отклоняется от траектории невозмущенного движения, если она целиком лежит в малой ε-окрестности невозмущенного движения (рис. 14.2а).

Устойчивость – это свойство движения, имеющее качественный характер. Поэтому важна лишь возможность подобрать столь малое η, чтобы кривая возмущенного движения не вышла из ε-окрестности невозмущенного движения. Если такая возможность существует, то движение устойчиво, если она отсутствует, то неустойчиво.

Рис. 14.2. К понятию устойчивости:

а) орбитальная устойчивость; б) асимптотическая устойчивость

Система обладает орбитальной устойчивостью, если при любом ε можно подобрать такое значение ηв выражении |y_i0 − y′_i0| < η, чтобы траектория возмущенного движения не вышла из ε-окрестности невозмущенного движения. Если подобрать такое ηнельзя, то невозмущенное движение неустойчиво.

При орбитальной устойчивости возмущенное движение может значительно отличаться от невозмущенного. Если даже траектории близки, но точки М и М' движутся с разными скоростями, то с течением времени расстояние между ними будет большим.

Устойчивость по Ляпунову

Движение называется устойчивым по Ляпунову, если для ε > 0 можно указать число η = η(ε) > 0 такое, что из |y_i0 − y′_i0| < η(ε) при t = t₀следует неравенство |y_i − y′| < ε для всех t > t₀. То есть движение устойчиво, если при достаточно малом начальном сдвиге |y_i0 − y′_i0|точка М' в последующем движении достаточно близка к М (рис. 14.2а). Если же подобрать такое η(ε) нельзя, то движение неустойчиво.

Асимптотическая устойчивость

Если при движении в пространстве точки М и M¢ неограниченно сближаются и разности их координат (y_i−y_i′) ® 0, то возмущенное движение постепенно возвращается к невозмущенному. Движение называется асимптотически устойчивым, если можно подобрать такое η, при котором |y₀ − y′₀| < η, то выполняется условие |y₀ − y′₀| ® 0 при t ® ∞.

Если движение асимптотически устойчиво, то оно наверняка устойчиво по Ляпунову. Но движение может быть устойчивым по Ляпунову и не являться асимптотически устойчивым.