Алгебраические критерии устойчивости

Необходимое и достаточное условие устойчивости – отрицательность действительных частей корней характеристического уравнения. Существуют методы исследования устойчивости, которые не требуют определениия корней характеристического уравнения – алгебраические критерии устойчивости.

Критерий устойчивости Гурвица позволяет по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления его корней сделать суждение об устойчивости системы. Гурвиц разработал алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемый из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Из коэффициентов характеристического уравнения

D(s) = a₀sⁿ + a₁s^n–1 +…+ a^n–1s + a_n (14.1)

сначала строят главный определитель Гурвица

(14.2)

по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от a₁ до a_n в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля проставляют нули.

Отчеркивая в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получают определители Гурвица низшего порядка

;… (14.3)

Критерий формулируется следующим образом.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения a₀, то есть при a₀ > 0: ∆₁ > 0; ∆₂ > 0; ∆₃ > 0;...; ∆_n > 0.

Если раскрыть определитель Гурвица для уравнений первого, второго и третьего порядка, то получатся следующие условия устойчивости:

1) n = 1; a₀s + a₁ = 0; условия устойчивости: a₀> 0, a₁ > 0;

2) n = 2; a₀s² + a₁s + a₀ = 0; условия устойчивости: a₀ > 0, a₁ > 0, a₂ > 0;

3) n = 3; a₀ s³ + a₁s² + a₂s + a₃ = 0; условия устойчивости: a₀ > 0; a₁ > 0; a₂ > 0; a₃> 0; a₁a₂ – a₀a₃ > 0.

Критерий Гурвица обычно применяют при n < 4. По этому критерию можно определить критическое значение параметра, при котором система находится на границе устойчивости.