Элементы теории функций комплексного переменного

Комплексным числом называется число, определяемое соотношением z=a+ib, где а и b – действительная и мнимая части числа. Такая форма записи называется алгебраической. На комплексной плоскости в координатах Rе (действительная часть) и Im (мнимая часть) комплексное число геометрически представляют вектором, оно также может быть изображено в полярных координатах z=Me^ij, где М (модуль) – длина вектора z и j (фаза) – угол между положительной ветвью действительной оси и вектором z.

Третья форма записи комплексного числа – тригонометрическая, так как e^±ij = cosj ± isinj, z = Mcosj ± iMsinj.

Cоставляющие комплексного числа связаны между собой следующими соотношениями ; a=Mcosj; b=Msinj.

При вычислении фазы (аргумента) числа необходимо учитывать, в каком квадранте находится точка z (рис. 6.3).

Рис. 6.3 Определение фазы в зависимости от расположения

I квадрант: ;

II квадрант: ;

III квадрант: ;

IV квадрант: .

При этом 1 = eⁱ⁰; –1 = e^ip; i = e^ip/2; –i = e^–ip/2.

Над комплексными числами проводят те же алгебраические операции, что и над действительными. Сложение и вычитание удобнее проводить над комплексными числами, записанными в алгебраической форме:

z₃ = z₁ ± z₂ = (a₁ ±ib₁) ± (a₂ ± ib₂) = (a₁ ± a₂) ± i(b₁ ± b₂),

а умножение и деление над числами показательной форме

;.

Если аргумент функции – комплексное число, то функция является функцией комплексного переменного. Функцией комплексного переменного называется некоторый оператор (правило), согласно которому точке одной плоскости комплексного переменного ставится в соответствие точка другой плоскости комплексного переменного.