ПЕРЕДАТОЧНЫЕ И ЧАСТОТНЫЕ ФУНКЦИИ. Передаточная функция

Одной из основных характеристик объекта управления, используемой в теории автоматического управления, является передаточная функция, записываемая в терминах преобразования Лапласа.

Передаточной функцией объекта называется отношение преобразованного по Лапласу выхода объекта у(s) к преобразованному по Лапласу входу х(s) при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция определяется только внутренними свойствами системы, является функцией комплексного переменного и обозначается

. (6.3)

Передаточная функция характеризует динамику объекта по каналу, связывающему конкретный вход и выход объекта (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Примеры различных объектов: а) с одним входом и одним выходом;

б) двумя входами и одним выходом; в) двумя входами и двумя выходами

Если объект имеет несколько входов и выходов, то он характеризуется несколькими передаточными функциями.

Передаточная функция характеризует динамику линейного объекта. Если задано дифференциальное уравнение, то для получения передаточной функции необходимо преобразовать дифференциальное уравнение по Лапласу и из алгебраического уравнения найти отношение .

Дифференциальное уравнение объекта представляется в виде (5.3)

a_ny⁽ⁿ⁾(t)+a_n−1y^(n–1)(t)+…+a₁y¢(t)+a₀y(t)=b_mx^(m)(t)+b_m−1x^(m–1)(t)+…+b₁x¢(t)+b₀x(t).

где a_n, …, a₀; b_m, …, b₀ – постоянные коэффициенты.

После преобразования по Лапласу при нулевых начальных условиях

a_nsⁿy(s)+a_n−1s^n–1y(s)+...+a₀y(s)=b_ms^mx(s)+b_m−1s^m–1x(s)+...+b₀x(s),

(a_nsⁿ+a_n−1s^n–1+...+a₁s+a₀)y(s)=(b_ms^m+b_m−1s^m–1+...+b₁s+b₀)x(s), (6.4)

. (6.5)

Если известна передаточная функция объекта, то изображение выхода объекта у(s)= W(s)x(s).

Передаточная функция является отношением полиномов

,

где B(s)=b_ms^m+b_m−lS^m–l+...+b₁s+b₀; A(s)=a_nsⁿ+a_n−lS^n–l+…+a₁s+a₀y.

Для реальных физических объектов степень полинома В(s)всегда меньше или равна степени полинома A(s), то есть m ≤ n.

Для переходной функции входной сигнал x(t) = 1(t), , выходной сигнал y(t) = h(t), y(s) = h(s), и тогда передаточная функция равна

. (6.6)

Из (6.6) может быть получено выражение для переходной функции

. (6.7)

Если известно выражение для весовой функции, то входной сигнал x(t) = δ(t), x(s) = 1, выходной сигнал w(t) и передаточная функция

, (6.8)

является преобразованием Лапласа от весовой функции.

Из (6.6) и (6.8) w(s) = s×h(s), то есть w(t) = h¢(t).