Динамические процессы в системах

Основным математическим аппаратом для исследования систем являются дифференциальные уравнения. Различают стационарные объекты, коэффициенты дифференциальных уравнений которых не изменяются во времени, и нестационарные объекты, у которых коэффициенты изменяются с течением времени. Большинство объектов являются нестационарными, но скорость изменения их свойств намного меньше скорости управления, поэтому такие объекты можно рассматривать как стационарные.

Линейный объект с сосредоточенными координатами описывает дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

a_ny⁽ⁿ⁾(t)+a_n−1y^(n–1)(t)+…+a₁y¢(t)+a₀y(t)=b_mx^(m)(t)+b_m−1x^(m–1)(t)+…+b₁x¢(t)+b₀x(t). (5.3)

Уравнение (5.3) описывает поведение объекта на неустановившемся режиме при любой форме входного сигнала x(t). Частными случаями уравнения (5.3) являются уравнения

a_ny⁽ⁿ⁾(t)+a_n−1y^(n–1)(t)+…+a₁y¢(t)+a₀y(t)=b_mx^(m)(t)+b_m−1x^(m–1)(t)+…+b₁x¢(t), (5.3а)

a_ny⁽ⁿ⁾(t)+a_n−1y^(n–1)(t)+…+a₁y¢(t)=b_mx^(m)(t)+b_m−1x^(m–1)(t)+…+b₁x¢(t)+b₀x(t). (5.3б)

Объекты, описываемые уравнением (5.3а), имеют вырожденную статическую характеристику, так как b₀ = 0. Объекты, описываемые уравнением (5.3б),не имеют статической характеристики.

Объекты, имеющие статическую характеристику, называют статическими, а не имеющие статической характеристики – астатическими.

Часто уравнения систем автоматического управления являются нелинейными, поэтому проводят их линеаризацию и получают уравнение (5.3) в виде уравнения в отклонениях, которое описывает объект в окрестности установившегося режима. Для линейных систем уравнение в отклонениях и исходное уравнение совпадают.

Для решения уравнения (5.3) необходимо задать начальные условия или состояние процесса в момент времени, принятый за его начало t = 0

. (5.4)

Общее решение уравнения (5.3) представляется в виде:

y(t) = y_св(t) + y_вын(t). (5.5)

В (5.5) y_св(t) является общим решением однородного уравнения, соответствуя движению системы в отсутствии входного сигнала x(t) ≡ 0, и определяется свойствами самой системы; y_вын(t) – частное решение уравнения (5.3), зависит от вида функции x(t), определяющей входное воздействие на систему, и соответствует вынужденному движению системы.