Виды сигналов

В теории автоматического управления используются сигналы:

1. Единичный скачок 1(t), называемый функцией Хевисайда (рис. 4.2).

(4.1)

Функция Хевисайда физически нереализуема, возможно лишь определенное приближение к этой функции.

2. Единичная импульсная функция – дельта-функция d(t) (рис. 4.3), называемая функцией Дирака, – это функция, удовлетворяющая условиям:

1) 2) (4.2)

d(t) можно представить как импульс бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды с площадью, равной единице (рис. 4.4).

Рис. 4.2. 1(t) Рис. 4.3. d(t) Рис. 4.4. Площадь d(t)

К основным свойствам δ-функции можно отнести следующие:

1) ; 2) δ(t) = δ(–t); 3) . (4.3)

Между функцией Дирака и функцией Хевисайда существует связь:

d[t] = 1¢(t) или . (4.4)

На практике считается, что на вход объекта подана δ-функция, если время действия прямоугольного импульса намного меньше времени переходного процесса.

3 Синусоидальный гармонический сигнал (рис. 4.5а)

x(t) = A·sinwt (4.5)

используют при исследовании систем автоматического регулирования частотными методами. Его можно представить как вращение вектора длиной А вокруг начала координат (рис. 4.5б) с угловой скоростью ω, рад/с.

Сигнал характеризуется амплитудой – А; периодом – Т; фазой – j.

Рис. 4.5. Гармонический сигнал: a - обычный сигнал;

б - представление гармонического сигнала вращением вектора;

в - гармонический сигнал со сдвигом фазы

Между периодом и угловой скоростью справедливы соотношения

; . (4.6)

Если сигнал начинается не с момента времени t = 0, то он характеризуются фазой j (рис. 4.5б), которая во временной области соответствует отрезку ∆t (рис. 4.5в).Перевод осуществляется по формуле

. (4.7)

4. Сдвинутые элементарные функции

К этим функциям относятся функции Хевисайда и Дирака с запаздыванием 1(t – τ) и δ(t – τ) (рис. 4.6)

(4.8)

Рис. 4.6. Сдвинутые элементарные функции

К основным свойствам сдвинутых функций можно отнести:

1) ; 2) δ(t–t) = δ (t–t) = δ(–(t–t)); 3) . (4.9)

5. Сигнал произвольной формы (рис. 4.7а).

Сигнал произвольной формы представляют с помощью δ-функции (рис. 4.7б), для чего в момент времени t_i, строят столбик высотой x(t_i) и основанием Dt_i. Этот импульс выражают через приближенную d-функцию площадью, равной 1, шириной Dt_i и высотой 1/Dt_i. Тогда высота столбика . Заменяя функцию x(t) набором импульсов (рис. 4.7в),можно записать . Если n ® 0, Dt_i ® t, , то

. (4.10)

Рис. 4.7. Сигнал произвольной формы:

а) входной непрерывный сигнал; б) импульс x(i);

в) суперпозиция импульсов, определяющих сигнал x(t)

Сигнал произвольной формы можно представить через единичные функции, для чего выражение (4.10) следует проинтегрировать по частям, используя подстановку δ(t − τ) = 1¢(t − τ), тогда

. (4.11)