Спектр периодического сигнала

Периодический сигнал можно разложить на гармонические составляющие и представить рядом Фурье (2.2).

Спектр амплитуд сигнала с ограниченной полосой частот (рис. 4.8), состоит из равноотстоящих линий, длина которых пропорциональна амплитудам А_n соответствующих гармоник. Спектр амплитуд дискретизированного периодического сигнала представлен на рис. 4.9.

Рис. 4.8. Периодическая функция x(t) с Рис. 4.9. Дискретизированная

ограниченной полосой частот периодическая функция x(k) и

и ее спектр X(n) ее периодический спектр X(n)

Кривую, соединяющую концы спектра, называют огибающей спектра амплитуд. На практике применяют комплексную форму ряда Фурье:

, (4.12)

где – комплексная амплитуда, .

Свойства спектра:

1. Спектры всегда дискретны, они содержат гармоники, частоты которых кратны основной частоте.

2. Чем больше период сигнала Т, тем меньше интервал w = 2p/T между соседними частотами. Для непериодической функции Т ® ∞ и спектр становится сплошным, но при этом амплитуды уменьшаются.

3. С уменьшением длительности импульсов τ при постоянном периоде амплитуды гармоник уменьшаются, а спектр становится «гуще».

4. Если с уменьшением длительности импульсов τ увеличивать их амплитуды пропорционально A₀ = 1/T, то амплитудный спектр будет стремиться к постоянному для всех частот значению A_n = 1/T.

Для непериодических сигналов используют спектральную плотность

, (4.13)

где А – амплитуды непериодической функции, .

Величину F(iω) называют спектральной характеристикой непериодической функции, а модуль |F(iω)| = F(ω) – спектром.

Поскольку спектральная характеристика комплекснаявеличина, то ее можно представить в виде F(iω) = a(w) + ib(w) = F(ω)e^-ij(ω), где

; .

Спектр периодического сигнала определяют модуль и фаза спектральной характеристики. Для непериодического сигнала строят спектры амплитуд и фаз. Спектральные свойства непериодического сигнала:

1. Спектр всегда непрерывен и характеризуется плотностью амплитуд гармоник, приходящихся на интервал [0; ω].

2. При уменьшении длительности импульса его спектр расширяется вдоль оси ω, а значения плотности амплитуд уменьшаются.

3. При уменьшении длительности τ и увеличении амплитуды A_n = 1/T импульса спектра, он стремится к дельта-функции, а спектральная плотность – постоянной величине, равной единице во всем диапазоне частот.