русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Метод наименьших квадратов


Дата добавления: 2014-04-22; просмотров: 1251; Нарушение авторских прав


 

Процесс выражения опытных данных функциональной зависимостью с помощью метода наименьших квадратов состоит из 2-х этапов: на первом выбирают вид искомой формулы (строится теоретическая линия регрессии), а на втором – для данной формулы подбирают параметры. На рисунке 8.2 (левая часть) приведены опытные данные, для которых в качестве эмпирической формулы (полученной на основании опытных данных) можно принять линейную зависимость .

Для данных, приведённых на правой части рис. 8.2, эмпирическую зависимость целесообразно принять в виде . В соответствии с идеей метода наименьших квадратов необходимо минимизировать сумму

 

, (8.4)

 

где – значения опытных данных, – значение функции, взятое на эмпирической зависимости в точке , – число опытов.

В случае линейной эмпирической формулы сумма (8.4) принимает вид

 

, (8.5)

 

а в случае квадратической зависимости – следующий вид:

 

  (8.6)

 

Минимум функции (8.5) и (8.6) имеют в тех точках, в которых частные производные от S по параметрам a, b, c обращаются в нуль. В результате дифференцирования и элементарных преобразований для определения параметров получают нормальную систему линейных уравнений. В случае линейной эмпирической зависимости составляют нормальную систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b:

 

    (8.7)

 

В случае квадратической зависимости нормальная система состоит из 3-х уравнений с 3-я неизвестными:

 

Для гиперболической зависимости :

 

Пример 8.1. Опытные данные о значениях x и y представлены в следующей таблице:

 

Таблица 8.1 – Исходные данные

 

X
Y -4 -10

 



Анализ опытных данных показывает, что в качестве эмпирической зависимости можно использовать линейную зависимость . Найти методом наименьших квадратов значение a и b.

Подставляя полученные в таблице 8.2 данные в систему уравнений (8.7), получаем: ; .

Эмпирическая формула принимает вид: .

Не существует общего правила для выбора подходящего вида эмпирической формулы; можно лишь догадываться о подходящей формуле уравнений по форме кривой, изображающей данные. Однако существуют способы, с помощью которых можно проверить, является ли догадка удачной или нет.

 

Таблица 8.2 – Расчёт вспомогательных данных для получения уравнения регрессии в примере 8.1

 

№№ xi yi xi2 xiyi
-4 -20
-10 -60
S -31

 

Для наиболее часто встречающихся зависимостей с двумя параметрами, а именно: I) , II) , III) , IV) ,

V) , VI) , VII) , эмпирическую формулу можно выбирать с помощью таблице 8.3.

 

Таблица 8.3 – Расчёт вспомогательных величин и для получения уравнений регрессий различных видов

 

Номер формулы     Вид эмпирической формулы
I y=ax + b
II y=axb
III y=abx, y=aebx, где b=ln b
IV
V
VI
VII y = a lgx + b

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Общий вид линейной многофакторной модели | Метод проверки адекватности гипотезы о подходящем выражении для данной зависимости факторов


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.003 сек.