Процесс выражения опытных данных функциональной зависимостью с помощью метода наименьших квадратов состоит из 2-х этапов: на первом выбирают вид искомой формулы (строится теоретическая линия регрессии), а на втором – для данной формулы подбирают параметры. На рисунке 8.2 (левая часть) приведены опытные данные, для которых в качестве эмпирической формулы (полученной на основании опытных данных) можно принять линейную зависимость .
Для данных, приведённых на правой части рис. 8.2, эмпирическую зависимость целесообразно принять в виде . В соответствии с идеей метода наименьших квадратов необходимо минимизировать сумму
,
(8.4)
где – значения опытных данных, – значение функции, взятое на эмпирической зависимости в точке , – число опытов.
В случае линейной эмпирической формулы сумма (8.4) принимает вид
,
(8.5)
а в случае квадратической зависимости – следующий вид:
(8.6)
Минимум функции (8.5) и (8.6) имеют в тех точках, в которых частные производные от S по параметрам a, b, c обращаются в нуль. В результате дифференцирования и элементарных преобразований для определения параметров получают нормальную систему линейных уравнений. В случае линейной эмпирической зависимости составляют нормальную систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b:
(8.7)
В случае квадратической зависимости нормальная система состоит из 3-х уравнений с 3-я неизвестными:
Для гиперболической зависимости :
Пример 8.1. Опытные данные о значениях x и y представлены в следующей таблице:
Таблица 8.1 – Исходные данные
X
Y
-4
-10
Анализ опытных данных показывает, что в качестве эмпирической зависимости можно использовать линейную зависимость . Найти методом наименьших квадратов значение a и b.
Подставляя полученные в таблице 8.2 данные в систему уравнений (8.7), получаем: ; .
Эмпирическая формула принимает вид: .
Не существует общего правила для выбора подходящего вида эмпирической формулы; можно лишь догадываться о подходящей формуле уравнений по форме кривой, изображающей данные. Однако существуют способы, с помощью которых можно проверить, является ли догадка удачной или нет.
Таблица 8.2 – Расчёт вспомогательных данных для получения уравнения регрессии в примере 8.1
№№
xi
yi
xi2
xiyi
-4
-20
-10
-60
S
-31
Для наиболее часто встречающихся зависимостей с двумя параметрами, а именно: I) , II) , III) , IV) ,
V) , VI) , VII) , эмпирическую формулу можно выбирать с помощью таблице 8.3.
Таблица 8.3 – Расчёт вспомогательных величин и для получения уравнений регрессий различных видов