Понятие о напряжениях

Внутренние силы, действующие в некотором сечении со стороны отброшенной части тела, можно привести к главному вектору и главному моменту. Выделим в рассматриваемом сечении с единичным вектором нормали и около точки М малую площадку DА (рис. 1.7 а).

F₁

F₃

F₁

F₃

F₂

р_n

F₂

DА

Dр

а б

Рис. 1.7

Главный вектор внутренних сил, действующих на этой площадке, обозначим через Dр. Среднее напряжение на площадке DA будет

В пределе при DA® 0 получим напряжение в точке М

Вектор полных напряжений р_п зависит не только от действующих на тело внешних сил и координат рассматриваемой точки, но и от ориентации в пространстве площадки DA, характеризуемой вектором . Совокупность всех векторов напряжений в точке М для всевозможных направлений вектора и определяет напряженное состояние в точке М.

В общем случае направление вектора полных напряжений р_п не совпадает с направлением вектора нормали . Проекция вектора р_п на направление нормали называется нормальным напряжением s, а на плоскость, проходящую через точку М и ортогональную вектору , – касательным напряжением t (рис 1.7 б).

Нормальные напряжения возникают, когда частицы материала стремятся отдалиться друг от друга или, наоборот, сблизиться. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц по плоскости рассматриваемого сечения.

Очевидно, что

Касательное напряжение в свою очередь может быть разложено по направлениям осей ОУ и ОZ (t_xy, t._xz). Размерность напряжений – Н/м².

Если вокруг точки А мысленно вырезать параллелепипед, то по его граням будет действовать совокупность напряжений, показанных на рис. 1.8. Нормальные и касательные напряжения в каждом поперечном сечении тела связаны определенным образом с внутренними усилиями, действующими в этом сечении. Если рассмотреть элементарную площадку dА поперечного сечения А бруса с действующими по этой площадке напряжениями s,t_у, t_z, получим, что на площадку dА действуют элементарные силы sdА, t_уdА,t_zdA. Тогда можно записать следующие интегральные зависимости:

N= ; ; ;

; .

В сопротивлении материалов принято следующее правило знаков для напряжений. Нормальное напряжение s считается положительным, если совпадает по направлению с внешней нормалью п к площадке, и отрицательным, если его направление обратно.

Касательные напряжения t считаются положительными, если вектор касательных напряжении следует поворачивать против хода часовой стрелки до совпадения с внешней нормалью, и отрицательными – в противном случае (рис. 1.9).

Так как между напряжениями и внутренними усилиями существует интегральная связь, то правило знаков для внутренних силовых факторов обуслов лено принятым правилом знаков для нормальных sи касательных t напряжений. Моменты приняты положительными, как и ранее, если они действуют против хода часовой стрелки.

Рис. 1.8 Рис 1.9