Решение системы уравнений

Одним из наиболее эффективных методов решения системы уравнений, которые получаются при использовании метода конечных элементов, является известный вариант метода исключения Гаусса. Матрица системы преобразуется к треугольному виду, после чего решение получается обратной прогонкой. Проиллюстрируем сначала метод на примере решения простой системы уравнений, а затем проведем обобщение, обсуждая вопросы, которые имеют отношение к методу конечных элементов.

Рассмотрим систему уравнений:

(2.48)

Матрица этой системы симметрична, причем наибольшие ее коэффициенты расположены на главной диагонали. Метод исключения основан на том, что любая неизвестная может быть исключена из всех уравнений, следующих за тем, в котором эта неизвестная находится на главной диагонали. Например, неизвестную Т₁ можно исключить из второго и третьего уравнений, а затем исключить Т₂ из третьего уравнения. Чтобы исключить Т₁ из второго и третьего уравнений, решим первое уравнение относительно Т₁:

Подставив это выражение во второе уравнение, получим:

или

Подстановка в третье уравнение дает

или

В результате система уравнений примет вид:

(2.49)

Повторим процедуру, исключая Т₂ из третьего уравнения:

(2.50)

Эта система может быть решена обратной прогонкой. Из третьего уравнения получим:

Подставляя это значение Т₃ во второе уравнение, и решая его относительно Т₂ получаем:

Поскольку Т₂ и Т₃ известны, из первого уравнения имеем

Мы видим, что метод включает два этапа. Первый состоит в превращении исходной матрицы в треугольную. На втором этапе решается полученная система уравнений. Первый этап обычно называют разложением матрицы, поскольку матрица жесткости переходит в более простую матрицу. Второй этап решения называют обратной прогонкой.

После того как мы подробно познакомились с методом, рассмотрим систему уравнений более общего вида. Снова предположим, что система уравнений симметрична и доминирующие члены находятся на главной диагонали. Кроме того, допустим, что матрица системы ленточного типа. Имея это в виду, рассмотрим приведенную ниже систему уравнений:

(2.51)

Ширина полосы матрицы, очевидно, равна трем. Нулевые коэффициенты здесь не показаны. После исключения Т₁ имеем:

(2.52)

где коэффициенты расширенной ¹⁾ матрицы выражаются через исходные коэффициенты следующим образом:

Верхний индекс (1) используется для обозначения первого исключения, или редукции. Общее соотношение для произвольного коэффициента после первой редукции имеет вид:

Редукции с номером n соответствует общее соотношение вида

(2.53)

Аналогичные формулы получаются для вектор - столбца {F}:

и

(2.54)

Из соотношения (2.53) можно извлечь важную информацию. Прежде всего очевидно, что симметрия в коэффициентах после операции исключения сохраняется. Это легко увидеть, сравнивая, например коэффициенты и в матрице (2.52). Так как в исходной матрице К₂₁=К₁₂ и К₁₃=К₃₁, из вышеприведенных формул следует, что . Поскольку симметрия сохраняется после каждой редукции, то и матрица (2.50) может быть переписана в виде:

(2.55)

Разложение матрицы таким образом может быть проведено с использованием только коэффициентов, находящихся на главной диагонали и выше ее, так что нет необходимости запоминать полную матрицу.

Еще одну важную особенность можно обнаружить при рассмотрении матрицы (2.52); если или равно нулю, то . Например, коэффициенты в четвертом и пятом столбцах и в четвертой и пятой строках матрицы (2.52) не изменилось после операции исключения, потому что и . На каждом шаге исключения следует рассматривать только те коэффициенты в пределах ширины полосы, которые изменяются в процессе исключения. Если система из 100 уравнений имеет матрицу с шириной полосы 15, только 15 уравнений этой системы видоизменяются после каждого отдельного исключения. Это приводит к экономии машинного времени при рассмотрении систем уравнений большого порядка.

Элементы матрицы, находящиеся вне главной полосы, не влияют на процесс исключения (ибо они равны нулю). Следовательно, их помнить не нужно. Это обстоятельство позволяет хранить глобальную матрицу жесткости в виде прямоугольного массива шириной, равной ширине полосы матрицы.

Получающиеся после разложения коэффициенты содержат достаточно информации, чтобы преобразовать надлежащим образом произвольный вектор столбец, даже если это не было сделано в процессе разложения матрицы. Последнее обстоятельство позволяет анализировать многочисленные вектор – столбцы {F} и дает определенное преимущество этому методу перед другими процедурами, которые применяются при рассмотрении отдельного вектор – столбца. Если {F} не модифицируется вместе с [K], рассматриваемый метод сводится к следующей трехшаговой процедуре:

1. Матрица коэффициентов [K] преобразуется в верхнюю треугольную матрицу.

2. Вектор – столбец {F} модифицируется обращением n раз к формуле (2.54). Этот процесс называется прямым разложением.

3. Решение получается методом обратной прогонки.

Первый шаг обычно реализуется в одной подпрограмме, тогда как второй и третий шаги объединяются в другой подпрограмме.