Преобразование системы уравнений

Результирующая система уравнений имеет вид

(2.47)

она получается суммированием уравнений для всех элементов. Эта система должна быть преобразована, если некоторые составляющие {T} известны, что является скорее правилом, чем исключением. В большинстве задач теории поля некоторые граничные значения искомой величины заданы; во всех задачах теории упругости должны быть фиксированы некоторые перемещения, с тем, чтобы исключить перемещение среды как жесткого тела. В задачах механики деформируемых сред матрица жесткости [K] будет сингулярной до тех пор, пока не заданы некоторые перемещения.

Цель этого раздела ­­– обсуждение и иллюстрация процедуры преобразования [K] и {F} таким образом, чтобы получить правильный ответ, не изменяя размеры [K] и {F}, ибо это повлечет за собой трудности при программировании.

Если фиксирована одна степень свободы узлового параметра {T}. То преобразование системы уравнений представляет собой двухшаговую процедуру. Пусть, например, известно значение Т5; преобразование сводится только к следующему:

1. Все коэффициенты пятой строки, за исключением диагональных, приравниваются нулю. Диагональный член остается неизменным. В форме равенства это выглядит как при j=1,…,n и . Соответствующая компонента F5 вектора {F} заменяется на произведение:

2. Все остальные уравнения преобразуются вычитанием произведения

из F_j и подстановкой K_j5=0, j=1,…,n, j≠5.

Пример

Требуется преобразовать следующую систему уравнений, если известно, что Т₁=150 и Т₅= 40:

На первом этапе приравняем нулю все коэффициенты в первой и пятой строках, за исключением диагональных членов, которые оставим неизменными. Компоненты F₁ и F₅ в {F} заменим соответственно на K₁₁T₁ и K₅₅T₅. В результате будем иметь:

Второй этап состоит в исключении столбцов матрицы, коэффициенты которых умножаются на Т₁ и Т₅. Это осуществляется переносом членов, содержащих Т₁ и Т₅ в правую часть системы. Например, величина F₂ становится равной 2000+46Т₁, или 8900. Завершая второй шаг, получим:

Описанная выше процедура совершенно проста и легко поддается программированию. Та же методика преобразования может быть использована также в случае, когда [K] хранится в виде прямоугольного массива. Логика программирования, однако, при этом более сложная.

Другой метод, применяемый некоторыми исследователями, состоит в том, что диагональный коэффициент, соответствующий заданному узловому значению Т_β, умножается на очень большое число, скажем на 10¹⁵, а F_β заменяется на (10¹⁵) Т_β. Это равносильно приближенной замене коэффициентов вне главной диагонали нулям. Такой способ очень легко реализовать на ЭВМ, но он неприменим, если значение Т_β очень мало. Именно с таким случаем сталкиваются при решении задач механики твердого деформируемого тела, когда заданные перемещения малы по величине. Первый метод, рассмотренный выше, всегда будет давать правильные результаты там, где мы сталкиваемся с малыми заданными величинами Т_β.