Решение стационарной одномерной задачи теплопроводности методом конечных элементов.

Уравнение теплопроводности в сплошной среде имеет вид:

(2.56)

Где Т – температура; - коэффициенты теплопроводности в направлениях x, y и z размерности кВт/м*К; - источник тепла внутри тела, который считается положительным, если тепло подводится к телу, его размерность кВт/м³.

Так как мы рассматриваем одномерную задачу, то уравнение теплопроводности примет вид:

(2.57)

Перенос тепла осуществляется вдоль стержня. На боковых поверхностях заданы адиабатические условия или теплопроводность плоской стенки. На левой и правой границе задаются граничные условия 1,2 или 3 рода.

С уравнением (2.56) связывают два различных типа граничных условий. Если температура известна на некоторой части границы, то записывают:

, (2.58)

Где Т_В – температура на границе, которая может быть функцией координат точек поверхности s. Если на границе происходит конвективный теплообмен, который характеризуется величиной h(T-T₀), или задан поток тепла q, то граничное условие имеет вид:

(2.59)

Где h - коэффициент теплообмена, кВт/м²*К; Т – температура на границе (неизвестная), К; Т₀ – температура окружающей среды (известная), К; l_x, l_y и l_z – направляющие косинусы; q - поток тепла кВт/м², который считается положительным, если тепло теряется телом. Поток тепла q и конвективная потеря тепла h(T-T₀) не имеют места на одном и том же участке поверхности границы. Если существуют потери тепла за счет конвекции, то отсутствует отвод или приток тепла за счет теплового потока и обратно.

Уравнения (2.56) и (2.59) могут быть применены к одномерным и двумерным задачам после простого вычеркивания членов, связанных с ненужными координатами. Уравнение для одномерной задачи с граничными условиями запишется в виде:

(2.60)

Если конвективный теплообмен отсутствует, кроме того, поток тепла равен нулю, то уравнение (2.59) сводится к соотношению:

Которое выражает условие существования теплоизолированной границы (n – внешняя нормаль).

Запишем уравнение теплопроводности для одномерной задачи в следующем виде:

(2.61)

Где [N]^Т – матрица, содержащая функцию формы.

(2.62)

(2.63)

(2.64)

Используя теорему Остроградского-Гаусса, перейдем от интеграла по V к замкнутой поверхности:

(2.65)

На левой границе задаем ГУ 2 рода, а на правой – 3 рода:

В результате с граничными условиями уравнение теплопроводности будет записано в виде:

(2.66)

Помножим полученное выражение на и используя выражение t=[N]{T} запишем уравнение теплопроводности:

(2.67)

Таким образом, результирующая система уравнений имеет вид:

(2.68)

Где – матрица жесткость (теплопроводности);

- вектор столбец.

Суммируя эти уравнения для каждого элемента, получим:

(2.69)

Интерполяционный полином для одномерного линейного элемента имеет вид:

(2.70)

Где - функции формы, которые определены относительно системы координат, показанной на рис. 2.14

Рис. 2.14 Система координат, относительно которой определены функции формы.

Матрица жесткости элемента получается суммированием матриц , а вектор столбец – сложением матриц . Рассмотрим составляющие матриц подробнее.

Матрица коэффициентов, учитывающая теплообмен:

(2.71)

Матрица коэффициентов, учитывающая теплопроводность:

(2.72)

Вектор столбец, учитывающий конвективный теплообмен:

(2.73)

Вектор столбец, учитывающий поток тепла:

(2.74)

Вектор столбец, учитывающий внутренние источники тепла:

(2.75)

Матрица градиентов получается дифференцированием по x:

Матрица свойств элемента сводится к одному коэффициенту, так как свойства внутри элемента постоянны:

(2.76)

Вычислим интегралы из (2.69):

(2.77)

(2.78)

Так как , то интеграл от N_i по dx иметь вид:

(2.79)

Тогда, используя (2.79), выражение (2.78) примет вид:

(2.80)

Выражение для коэффициента, учитывающего теплообмен примет вид:

(2.81)

Выражение для коэффициентов и вектор столбца запишется следующим образом:

Если заданы на правой стороне:

(2.82)

(2.83)

(2.84)

Если на левой стороне:

(2.85)

(2.86)

(2.87)

Суммируя все коэффициенты и вектор столбцы, получим общее выражение для узла:

(2.88)

Выражение (2.88) запишется в сокращенном виде:

(2.89)

ПРИМЕР №1

Требуется вычислить распределение температуры в одномерном стержне с приведенными ниже физическими характеристиками.

Разделим конструкцию на 5 элементов длинной 1,5 см каждый. Матрицы элементов для первых четырех элементов идентичны и могут быть составлены с помощью формул:

Рис. 2.15 Пример №1

Запишем величины различных параметров, входящих в эти соотношения:

Матрица теплопроводности для первого элемента имеет вид

или

Матрица теплопроводности для второго, третьего и четвертого элемента идентичны . Вектор нагрузки элемента преобразуется к виду:

так как Q и q равны нулю

Матрицы для пятого элемента получаются из соответствующих матриц первого элемента добавлением членов, описывающих потери тепла на правом конце стержня. Чтобы построить матрицу теплопроводности, нужно добавить к результаты вычислений (2.81). Так как αА=10π, нужно добавить следующую матрицу:

Вектор нагрузки для пятого элемента

или

После применения метода прямой жесткости совокупность рассмотренных матриц элементов приводит к следующей системе уравнений:

Здесь проведено сокращение на множитель π, так как он входит в обе части системы уравнений. Пустые места в [k] означают нулевые коэффициенты.

Значение Т₁ известно (150˚С), так что система уравнений должна быть модифицирована перед решением. Эта модификация преобразует стобец правых частей к виду

После решения системы имеем

Теоретические значения температуры [2] следующие:

Результаты, полученные по методу конечных элементов, достаточно хорошо согласуются с истинными значениями, если учесть, что было проведено разбиение области на одинаковые элементы. Решение по методу конечных элементов можно было бы улучшить, если использовать более короткие элементы вблизи стены, в которую заделан стержень.