Интерполяционные полиномы для дискретизованной области

Интерполяционный полином в общей форме имеет вид

. (2.43)

где – число узлов элемента, верхний индекс означает произвольный элемент.

Техника включения элемента в область может быть проиллюстрирована на примере простой пятиэлементной конфигурации, показанной на рис. 2.12 Узлы пронумерованы от единицы до шести. Величины , , , , , представляют собой глобальные свободы. Координаты узлов , , известны. Номера элементов записаны в круглых скобках.

Для обозначения номеров узлов элемента могут быть использованы принятые выше индексы , и , как только определен первый узел в каждом элементе. На рис. 2.12 -й узел в каждом элементе выделен звездочкой. Выбор этого узла совершенно произволен, хотя читатель вскоре сам убедится в удобстве именно такого расположения первых узлов. Узлы‚ м и следуют за -м узлом в направлении против часовой стрелки. Фиксирование узла позволяет записать следующие равенства для первого элемента:

, , .

Рис. 2.13. Пятиэлементная область

Соответствие такого же типа может быть установлено для других элементов:

элемент 2: , , ,

элемент 3: , , ,

элемент 4: , , ,

элемент 5: , , ,

С помощью этих соотношений можно осуществить включение элемента в область, так как они ставят в соответствие индексы элемента , и глобальным номерам узлов. Этот процесс фиксирует координаты узлов элемента.

Значения индексов , и могут быть подставлены в формулу (2.43), что приводит к следующей совокупности уравнений для элементов

, (2.44)

Функции формы – множители при узловых значениях в формулах (2.44) – определяются подстановкой числовых значений , и в уравнения для функций формы.

С помощью уравнений (2.44) достигается основная цель. Конечные элементы объединяются в ансамбль, а интерполяционные функции выражаются через глобальные узловые значения и глобальные координаты, которые вводятся вместо произвольных , и .

Каждое из уравнений в системе (2.44) содержит глобальные узловые значения, но относится к конкретному элементу. Мы будем а дальнейшем использовать расширенную форму этих уравнений, которая имеет вид

, (2.45)

Эти уравнения можно записать следующим образом:

. (2.46)

Сокращенная форма интерполяционных уравнений используется, когда осуществляется машинная реализация метода. Расширенная форма имеет некоторое преимущество, когда рассматривается процесс минимизации, который связан с дифференцированием матриц элементов.