Одномерный симплекс-элемент

Одномерный симплекс-элемент представляет собой прямолинейный отрезок длины с двумя узлами, по одному, по одному на каждой стороне отрезка (см. рис. 2.5). Узлы обозначаются индексами и , узловые значения – через и соответственно.

Рис. 2.5. Одномерный симплекс-элемент

Начало системы координат расположено вне элемента. Полиномиальная функция для скалярной величины имеет вид

. (2.8)

Здесь .

Коэффициенты полинома и определяются через значения функции в узлах. В результате имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными

, (2.9)

решение которой дает

, . (2.10)

Подставляя найденные значения и в формулу (2.8) получим

, (2.11)

которое может быть переписано в виде

. (2.12)

Линейные функции от в формуле (2.12) называются функциями формы или интерполяционными функциями и обозначаются буквой

и . (2.13)

Как видно из формулы (2.13), функция равна единице в узле с номером и равна нулю в узле (см. рис. 2.6). Аналогично функция равна нулю в -м узле и равна единице в узле с номером (см. рис. 2.6). Эти значения характерны для функций формы. Они равны единице в одном определенном узле и обращаются в нуль во всех других узлах.

Рис. 2.6. Функции формы одномерного симплекс-элемента

Соотношение (2.12) может быть записано

, (2.14)

или в матричном виде

, (2.15)

где – матрица-строка функций формы конечного элемента (матрица функций формы); – вектор-столбец узловых значений функции .

Выражение (2.15) является основополагающим и применимо к любым конечным элементам. Число элементов матриц и равно числу узлов конечного элемента. Для любой разновидности конечного элемента функция формы любого узла это функция заданная и непрерывная на конечном элементе и равная единице в этом узле и нулю во всех остальных узлах.