Двухмерный симплекс-элемент

Двухмерный симплекс-элемент показан на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Двухмерный симплекс-элемент

В методе конечных элементов принята нумерация узлов против часовой стрелки, начиная от некоторого -го узла, который выбирается произвольно. Узловые значения скалярной величины обозначаются через , и , а координатные пары трех узлов – через , , .

Интерполяционный полином имеет вид

; (2.16)

Послед подстановки узловых значений функции и соответствующих координат узлов получаем систему трёх уравнений

, (2.17)

решая которую получаем

, (2.18)

, (2.19)

. (2.20)

Определитель системы связан с площадью треугольника соотношением

. (2.21)

Выражения (2.18)–(2.20) можно записать в виде

, ,

Подставляя значения , и в формулу (2.16), можно преобразовать выражение для к виду, подобному (2.14). Это соотношение определяющее элемент, содержит три функции формы по одной для каждого узла:

, (2.22)

где ; ; или ;

; ; или ;

; ; или .

Значение функции формы в -м узле равно 1, а в узлах и равно нулю. Аналогично функции и равны 1 соответственно в узлах и .

Скалярная величина определяется внутри элемента функциями формы, линейными по и . Это означает, что градиенты этой величины в направлениях и будут постоянны. Градиенты в направлении определяется соотношение

, (2.23)

Поскольку

, .

Поэтому

. (2.24)

Так как , , постоянны (они фиксированы как только заданы узловые координаты) и , , не зависят от координат пространства, частная производная в (2.24) имеет постоянное значение. Постоянство градиента внутри каждого элемента означает, что необходимо использовать очень малые по величине элементы, чтобы аппроксимировать быстро меняющуюся функцию .