Типы конечных элементов

Размерность элемента определяется размерностью аппроксимируемой их совокупностью области определения задачи. Для соответствия элемента физической модели исследуемого объекта одномерный элемент может иметь поперечное сечение, площадь которого необязательно постоянна по длине элемента, а двухмерный элемент единичную толщину.

Простейший конечный элемент имеет число узлов больше на единицу мерности элемента и называется симплекс-элемент. Конечный элемент, имеющий большее число узлов, называется комплекс-элементом.

На рис. 2.1 приведены симплекс-элементы различной размерности.

Рис. 2.1. Симплекс-элементы: а – одномерный;
б – двухмерный (треугольник); в – трехмерный (тетраэдр)

Симплекс-элементам соответствую полиномы, содержащие константу и линейные члены:

одномерный (см. рис. 2.1,а)

; (2.1)

двухмерный (см. рис. 2.1,б)

; (2.2)

трехмерный (см. рис. 2.1,в)

. (2.3)

Нелинейные элементы высокого порядка, или комплекс-элементы должны иметь число узлов, равное числу коэффициентов в аппроксимирующем полиноме этого конечного элемента. Например, одномерный квадратичный элемент должен содержать три узла (см. рис. 2.2), т.к. его полином содержит три неизвестных коэффициента

, (2.4)

а кубический – четыре узла

. (2.5)

Рис. 2.2. Одномерные нелинейные элементы высокого порядка
а – квадратичный; б – кубический

Квадратичный треугольный элемент содержит шесть узлов (см. рис. 2.3), а полином – шесть коэффициентов

; (2.6)

Рис. 2.3. Квадратичный треугольный элемент

Нелинейный двухмерный элемент с наименьшим числом узлов – это четырехугольник (см. рис. 2.4)

; (2.7)

Рис. 2.4. Нелинейный четырехугольный элемент