В таком случае, если среди действующих на частицу сил сохранить лишь наибольшие по порядку величины - вес G и силу сопротивления Fс (рис. 5.1), то в результате согласно основному закону динамики для точки приходят к уравнению
mdV/dt = G+ Fс, (5.1)
где m - масса частицы, кг; t - время, с; G = {0, -mg} - вектор силы тяжести,Н; g - ускорение свободного падения, м/с2; Fc = -3pmd(V - U), m - динамический коэффициент вязкости, Па×с; d - диаметр частицы, м; V= {Vx, Vy} - вектор скорости частицы, U = {0, U}, U - скорость потока воздуха, U > 0, м/с.
Выбирая при исследовании поставленной задачи оси координат естественным путем (рис. 5.2), направляют ось у вверх, против силы тяжести, а ось х перпендикулярно оси у.
G
V
Fc
U
Рис. 5.2
В таком случае, проецируя векторное уравнение (5.1) по осям х и у, получают
dVx/dt = -kVx, (5.2)
dVy/dt =-g - k (Vy - U). (5.3)
где
k = 18m/(r1d2),
где r1 - плотность частицы, кг/м3.
Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5.2), (5.3) согласуют с начальным условием (рис. 5.1)
Vx0= V0Cosj, Vy0 = -V0Sinj при t = 0. (5.4)
Частным решением задачи (5.2) - (5.4) является
Vx= Vx0ехр(-kt), (5.5)
Vy= [(g + kw0) ехр(-kt) - g]/k + U, (5.6)
где временно обозначено w0 = Vy0 - U.
Поскольку Vx = dx/dt, Vу = dу/dt, то на основе (5.5), (5.6) могут быть найдены зависимости декартовых координат частицы от времени, удовлетворяющие начальным условиям
х = 0, у = 0 при t = 0. (5.7)
В результате, интегрируя (5.5), (5.6), с учетом (5.7), имеют
x = Vx0 [1 - ехр(-kt)]/k, (5.8)
y = (g + kw0)[1 - ехр(-kt)]/k2 + (U - g/k)t. (5.9) С целью получить уравнение траектории точки в аналитической форме выражают время t из уравнения (5.8)
В результате чего в соответствии с (5.9), (5.10) в явном виде, как функцию у от х, получают уравнение траектории частицы в рабочем объеме пневмосепаратора:
Таким образом, в рамках принятых допущений решение задачи (5.4) - (5.7), в виде зависимостей (5.5), (5.6), (5.8)- (5.10), по проекциям скорости, координатам и уравнению траектории моделирующей частицу точки в рабочем объеме пневмосепаратора получено полностью. На базе данных зависимостей может быть реализован полный конструктивный анализ кинематики частицы в рабочей полости вертикального пневмосепарирующего канала.
Так, в частности, из условия обращения в нуль производной y¢(х) = 0 вытекает, что в точке с абсциссой хопт = Vx0[1- (Uk - g)/(g + kw0)]/k траектории частиц достигают экстремальной высоты
Если L - ширина канала, то на основе формулы (5.10) определяют время Т достижения частицей противоположной стенки канала (эффективное время осаждения частицы на вертикальной стенке):
Т = -ln[1 - kL/Vx0 ]/k.
Поскольку эффективность работы сепаратора в некоторых случаях оценивают, в основном, по содержанию тяжелых частиц в зоне осаждения лёгких частиц (примесей), то анализ эволюции дисперсности взвеси проводят по поведению траектории ОАВ (рис. 5.3) именно для этого компонента смеси. Данную траекторию, как и размер частицы, движущейся по этой линии, в теории сепарирования жидкостных и газовых смесей называют, соответственно, критической траекторией и критическим диаметром dк частицы. При этом критический диаметр dк частицы является корнем уравнения траектории, проходящей через точку В(L, 0), координаты которой удовлетворяют (5.11)
где dк входит в уравнение (5.12) через параметр k, а именно,
d = [18m/(kr1)]1/2. (5.13)
Учитывая, что уравнение (5.12) зависит от dк неявным образом, данный параметр определяли численным путем как корень трансцендентного уравнения по dк. Причем, при выполнении вычислений, например, в такой операционной системе как MATHСAD, выкладки, связанные с получением в явной форме уравнений типа (5.12), проводили в символьном виде.
О
х
у
В
В
А
Рис. 5.3
При этом согласно определению понятия критического диаметра dк частицы, размером больше dк, отводятся вниз, а размером меньшим dк - уходят с потоком воздуха в зону осаждения лёгких частиц. В свою очередь, если эффективность процесса сепарирования смеси базируется на понятии критической скорости витания vк частицы, то частицы, движущиеся со скоростью меньшей критической, отводятся в зону целевого продукта, а движущиеся со скоростью больше критической - в зону осаждения лёгких частиц.
