Если процесс сепарирования смеси развивается в условиях, когда размеры разделяемых частиц имеют величину порядка нескольких миллиметров, при скорости потока воздуха порядка нескольких метров в секунду, то кинетика частиц в рабочем объеме воздушного сепаратора протекает при немалом значении числа Рейнольдса. Поэтому в качестве силы сопротивления Fс движению частицы со стороны потока воздуха принимают квадратический закон по местной (относительной) скорости частицы в потоке, т.е. по так называемой скорости витания.
В таком случае силу сопротивления Fс принимают по зависимости
Fc = -k1VотнêVотнê,
где k1 = 0,5rвсуS - коэффициент пропорциональности, rв - плотность воздуха, кг/м3; су - аэродинамический коэффициент сопротивления; S - площадь проекции частицы на плоскость, нормальную направлению ее движения, м2; V= {Vx, Vy} - вектор скорости частицы, Vотн = v = V - U, U = {0, U}, U - скорость потока воздуха, U > 0, Vотн - вектор местной скорости частицы, м/с.
Тогда векторное уравнение (5.1) в проекциях по осям х и у принимает вид
mdVx/dt = -kVxçv ç, (5.14)
mdVy/dt =-mg - k(Vy - U) çv ç. (5.15)
Поскольку çv ç= [Vx2 + (Vy - U)2]1/2, то согласно уравнениям (5.14), (5.15) имеют
Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5.16), (5.17) согласуют с начальным условием (рис. 5.1)
Vx= V0Cosj, Vy = V0Sinj при t = 0. (5.18)
Поскольку система уравнений (5.16), (5.17) является нелинейной относительно искомых проекций скорости Vх и Vу, то ее решение может быть найдено лишь численным методом.
Для того чтобы получить зависимости, позволяющие прогнозировать результаты сепарирования смеси в вертикальном пневмосепарирующем канале, необходимо располагать аналитическим, пусть даже упрощенным, решением задачи (5.16) - (5.18) по проекциям скорости частицы и ее координатам. С помощью численного моделирования (в критериальной форме) задачи Коши (5.16) - (5.18), на базе стандартных процедур, в области реальных значений параметров процесса было выявлено, что обычно выполняется неравенство Vx2 < (Vy - U)2. Поэтому, имея в виду, что U - Vу > 0, вместо уравнений (5.16), (5.17) приближенно имеют
dVx/dt = -kVxçVy - Uç, (5.19)
dVy/dt =-g - k(Vy - U) çVy - Uç. (5.20)
Вводя скорость v витания частицы, и учитывая, что Vx > 0, системе уравнений (5.19), (5.20) придают форму
dVx/dt = kVxv, (5.21)
dv/dt =-g + kv2. (5.22)
При этом начальные условия (5.4) по проекциям скорости частицы принимают вид
Vx= Vx0 = V0Cosj, v = v0 при t = 0, (5.23)
где v0 = V0Sinj - U.
Общим интегралом уравнения (5.22) является
ln[(b - v)/(b + v)]/a = t + lnC2/a, (5.24)
где С2 = const, и для сокращения преобразований введены обозначения а = 2(gk)1/2, b = (g/k)1/2.
Исходя из (5.23), (5.24) находят
v = b(c - eat)/(c + eat), (5.25)
где обозначено с = (b + v0)/(b - v0).
И, поскольку v = V - U, то в соответствии с (5.25)
Vy = U + v = U + b(c - eat)/(c + eat). (5.26)
Подставляя (5.26)в уравнение (5.21), получают
dVx/dt = kVxb(c - eat)/(c + eat),
откуда, имея в виду связь kb = a/2, находят общий интеграл
Vx = С1[eat/2/(c + eat)], (5.27)
где С1 = const.
Согласуя (5.27) с (5.23), получают частное решение уравнения (5.21)
Vx= Vx0×(с + 1)×eat/2/(c + eat). (5.28)
Поскольку Vx = dx/dt, Vу = dу/dt, то на основе (5.26), (5.28) находят зависимости декартовых координат частицы от времени, удовлетворяющие начальным условиям
х = 0, у = 0 при t = 0. (5.29)
В результате, интегрируя (5.26), (5.28), с учетом (5.29), имеют
х = 2Vx0(с + 1)/(ac1/2)[arctg(eat/2/c1/2) - arctg(1/c1/2)], (5.30)
y = Ut + (2b/a)ln[(с + 1)eat/2/(c + eat)]. (5.31)
С целью получить уравнение траектории точки в аналитической форме выражают время t из уравнения (5.30)
t = 2ln[c1/2tg(a + xх)]/a, (5.32)
где для сокращения записи приняты обозначения
a = arctgc-1/2, x = ac1/2/[2Vx0(с + 1)].
Поэтому, согласно (5.32)
eat/2 = с1/2×tgb, c + eat = с(1 + tg2b), (5.33)
где временно введено обозначение b = xх + a.
В результате чего в соответствии с (5.30), (5.32) в явном виде, как функцию у от х, получают уравнение траектории частицы в рабочем объеме пневмосепаратора:
Таким образом, в рамках принятых допущений решение задачи (5.21) - (5.23), в виде зависимостей (5.26), (5.28), (5.30), (5.31), (5.34) по проекциям скорости, координатам и уравнению траектории моделирующей частицу точки в рабочем объеме пневмосепаратора получено полностью. На базе данных зависимостей может быть реализован полный конструктивный анализ кинематики частицы в рабочей полости вертикального пневмосепарирующего канала при немалых значениях числа Рейнольдса.
Так, если L - ширина канала, то на основе формулы (5.32) определяется время Т достижения частицей противоположной стенки канала (эффективное время осаждения частицы на вертикальной стенке):
T = ln[tg2(a + xL)c]/a. (5.35)
Поскольку эффективность работы сепаратора в некоторых случаях оценивают, в основном, по содержанию тяжелых частиц в зоне осаждения лёгких частиц (примесей), то анализ эволюции дисперсности взвеси проводят по поведению траектории ОАВ (рис. 5.3) именно для этого компонента смеси. Данную траекторию, как и размер частицы, движущейся по этой линии, в теории сепарирования жидкостных и газовых смесей называют, соответственно, критической траекторией и критическим диаметром dк частицы. При этом критический диаметр dк частицы является корнем уравнения траектории, проходящей через точку В(L, 0), координаты которой удовлетворяют (5.11):
а = 2(gk)1/2, b = (g/k)1/2, 2b/a = 1/k, c = (b + w0)/(b - w0),
x = ac1/2/[2Vx0(с + 1)], k = 0.75су(rв/rч)/dк.
Учитывая, что уравнение (5.36) зависит от dк неявным образом, данный параметр определяли численным путем как корень трансцендентного уравнения по dк. Причем, при выполнении вычислений, например, в такой операционной системе как MATHСAD, выкладки, связанные с получением в явной форме уравнений типа (5.36), проводили в символьном виде.
При этом согласно определению понятия критического диаметра dк частицы, размером больше dк, отводятся вниз, а размером меньшим dк - уходят с потоком воздуха в зону осаждения лёгких частиц. В свою очередь, если эффективность процесса сепарирования смеси базируется на понятии критической скорости витания vк частицы, то частицы, движущиеся со скоростью меньшей критической, отводятся в зону целевого продукта, а движущиеся со скоростью больше критической - в зону осаждения лёгких частиц.
С целью сопоставить результатов расчетов по количественному моделированию кинетики смеси в вертикальном пневмосепарирующем канале будем предполагать, что все частицы смеси имеют сферическую форму диаметром d, причем, аэроотделимые примеси характеризуются значением аэродинамического коэффициента сопротивления суl = 1,2 (условно - легкий компонент смеси), а целевого продукта - значением суs = 0,8 (условно - тяжелый компонент смеси). Что близко к имеющим место данным величинам в практических условиях.
И пусть плотность частицы смеси rп = 1200 кг/м3; плотность воздуха rв = 1.3 кг/м3; масса частицы m = 3×10-5 кг; скорость потока воздуха U = 6 м/с; скорость подачи смеси V0 = 0,5 м/с; угол подачи смеси j = - 45°.
Из анализа графиков на рис. 5.3 (кривая 1) видно, что тяжелые частицы крупностью d = 1×10-3 м уходят в зону осаждения лёгких частиц, а более крупные размером - d = 2×10-3 м и d = 3×10-3 м (кривые 2,3) - опускаются, и в дальнейшем отводятся из рабочего объема. В свою очередь, легкие частицы крупностью d = 1×10-3 м и d = 2×10-3 м отводятся в зону осаждения лёгких частиц, а размером - d = 3×10-3 м - опускаются. Как видно из анализа кривых 4 на рис. 5.3 а, б, соответствующих траекториям тяжелых и легких частиц критическими диаметрами d = dк, частицы этих размеров для обеих фаз смеси практически находятся во взвешенном состоянии.
Помимо этого по данным расчетов можно заключить, что частицы тяжелого компонента смеси в горизонтальном направлении движутся быстрее, а в вертикальном направлении - медленнее, чем частицы аэроотделимой примеси. Эта особенность перемещения частиц обусловлена большей “парусностью” частиц с большим значением аэродинамического коэффициента сопротивления су у аэроотделимой примеси.
(а)
2
4
3
1
(б)
1
3
4
2
Рис. 5.3
Траектории частиц (rп = 1200; rв = 1,3 кг/м3; L = 0.14 м; U = 6 м/с; V0 = 0,5 м/с; j = -40°): (а) - целевого продукта (сs = 0,8) - 1 - d = 1´10-3 м; 2- d = 2´10-3 м; 3 - d = 3´10-3 м; 4 - d = dк = 1,70´10-3 м); (б) - аэроотделимой примеси (сl = 1.2) - 1 - d = 1´10-3 м; 2-d = 2´10-3 м; 3- d = 3´10-3 м; 4 -d = dк = 256 ´10-3 м)
Подробный количественный анализ на базе формул (5.26), (5.28), (5.30), (5.31) выявляет заметную зависимость результатов расчетов траекторий частиц от величин скоростей U и V0.
Исходя из формул (5.26) и (5.32), значение вертикальной составляющей Vу(Т) скорости частицы в момент достижения ею стенки канала, имеет вид
Vу(Т) = U + w = U + b(c - eat)/(c + eat)çt=T =
= U + b×cos{2[arctg(c-1/2) + xL)]}. (5.37)
На основе рассчитанного по (5.36) значения dк, а также формул (5.32), (5.35) находят выражение скорости VВ для частицы в точке В:
VВ = (VВх2+ VВу2)1/2 » VВу, (5.38)
где проекции VВх, dк по осям координат вектора скоростиVВ вычисляются по формулам (5.14), (5.16) при х = L.
