Лекция 4. Основы теории динамики вязкой несжимаемой жидкости. Критериальное моделирование гидромеханических процессов. Формулы расчёта силы сопротивления для шара.

Дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнения Навье-Стокса)

При выводе этих уравнений принимают допущения о том, что жид­кость несжимаема и не поддается растяжению. Если в потоке вязкой жидкости выделить элементарный параллелепипед (рис. 4.1), то дей­ствие на него силы трения, обусловленной вязкостью потока, прояв­ляется в возникновении на поверхности параллелепипеда касатель­ных напряжений.

Рассмотрим одномерное движение плоского потока в направле­нии оси х. В этом случае касательные напряжения возникают на поверхности dF = dхdу верхней и нижней граней параллелепипеда. Причем если на нижней грани касательное напряжение равно t, то на верхней оно будет равно

t +

где слагаемое выражает изменение касательного напряжения вдоль оси z по длине ребра параллелепипеда.

Рис. 4.1

Проекция равнодействующей сил трения на ось x будет равна

tdхdу - (t + )dxdy =

Подставив в это выражение зна­чение рассчитываемого согласно закону Ньютона касательного напряжения t, равного получают

В случае трехмерного потока составляющая скорости изменя­ется в направлении всех трех осей координат и проекция равнодей­ствующей сил трения на ось х, имеющая вид

определяется суммой вторых производных по осям координат, где - оператор Лапласа.

Сумма проекций сил, действующих на элементарный параллеле­пипед (силы тяжести, гидростатического давления и трения), согласно принципу кинетостатики будет равна

(4.1)

Субстанциональные производные от скорости по времени в этой системе уравнений для установившегося и неустановившегося потоков определяются выра­жениями (3.6).

В этих уравнениях rg отражает влияние силы тяжести, частные производные др/¶х, др/ду, др/дz характеризуют влияние перепада гидростатического давления, а произведение m на оператор Лапла­са - влияние сил трения на поток жидкости. Левые части уравнений представляют собой проекции равнодействующей силы инерции, т. е. произведение массы единицы объема r на проекцию ее ускорения.

Дифференциальные уравнения Эйлера (3.5) для идеальной жидкости получают, как частный слу­чай при m = 0, из системы уравнений (3.7).

Для полного описания движения реальной жидкости необходимо при выводе системы уравнений учитывать сжимаемость, темпера­турное расширение жидкости, а к описанию добавить дифферен­циальные уравнения неразрывности потока.

Сложность математического аппарата затрудняет решение системы дифференциальных уравнений Навье-Стокса в аналитическом виде. Эта система уравнений количественно проанализирована лишь для ряда простейших слу­чаев.

Для решения практических задач принимают обычно ряд упро­щений допущений, а также используют методы теории подобия.