Уравнение неразрывности потока

Рассматривают зависимость между скоростями в потоке жидкости в условиях неразрывности движения.

Для этого выделяют внутри потока элементарный параллелепи­пед, объем которого dV = dxdydz (рис. 2.1). Если v_x - составляющая скоро­сти вдоль оси х, то тогда через левую грань параллелепи­педа площадью dydz за бесконечно малый проме­жуток времени dt в него войдет масса жидкости, равная (рис. 2.2)

M_x = rv_xdydzdt.

Рис. 2.2

На противоположной грани параллелепипеда скорость жидкости будет отличаться от скорости на левой грани на величину и будет равна

Через правую грань за тот же промежуток времени dtвыйдет масса жидкости, равная

M_x+dx = r( )dydzdt.

Приращение массы в параллелепипеде в направлении х будет

dM_x = M_x - M_x+dx = -r(¶v_x/¶x)dxdydzdt.

Соответственно вдоль осей у и z изменение массы жидкости составит

dM_y = M_y - M_y+dy = -r(¶v_y/¶y)dxdydzdt,

dM_z = M_z - M_z+dz = -r(¶v_z/¶z)dxdydzdt.

Общее изменение массы жидкости в параллелепи­педе за время dt будет равно сумме ее изменений по осям координат:

dM = dM_x+ dM_y + dM_z = (3.3) Если жидкость несжимаема, т.е. r = сonst, то масса жидкости внутри параллелепипеда должна быть постоянной, а, следовательно, общее изменение массы dM = 0, и поэтому в силу (3.3)

, (3.4)

где изменение скорости в направ­лении осей х, у, z.

Это уравнение называют дифференциальным уравнением неразрывности потока несжимаемой жидкости или уравнением сохранения массы.

Лекция 3. Уравнения Эйлера динамики идеальной жидкости. Уравнение Бернулли и его приложения в технике.

Уравнения движения Л. Эйлера устанавливают связь между дав­лением и скоростью движения идеальной жидкости в любой точке потока.

Если к действующим на выделенный объём dV массовой силе F(X,Y,Z) и силе давления gradр(¶р/¶х, ¶р/¶у, ¶р/¶z) добавить силу инерции dФ = -dт(dv/dt)= -rdхdуdz(dv/dt), то согласно принципу Даламбера, исходя из уравнений равновесия (3.2), приходят к системе уравнений динамики идеальной жидкости

dv_x/dt = X - (1/r)(¶р/¶х);

dv_y/dt = Y - (1/r)(¶р/¶y); (3.5)

dv_zdt = Z - (1/r)(¶р/¶z).

Входящие в левые части (3.5) составляющие ускорение имеют вид

(3.6)

В этой системе уравнений производные (dv_x/dt), (dv_y/dt) и (dv_z/dt) характеризуют составляющие ускорения вдоль соответствующих осей.

Система уравнений (3.5) является системой дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости (Л. Эйлер, 1755 г.).