Переоценка альтернатив на основе Байесовского подхода

P_ассмотрим множество альтернатив H₁, H₂, ..., H_n, образующих полную группу несовместных событий. Известны априорные вероятности альтернатив Р(H₁), Р(H₂), ..., Р(H_n)

Производится некоторый эксперимент, в результате которого происходит событие А, причем возможно найти условные вероятности события А.

Р(А/H₁), Р(А/H₂), ..., Р(А/H_n)

В этих условиях апостериорные (послеопытные) вероятности альтернатив определяются формулой Байеса:

P(H_l/A) = [P(H_l)⋅P(A/H_l)]/∑[P(H_l)⋅P(A/H_l)]

Формула Бейеса позволяет осуществить переоценку альтернатив с учетом дополнительной информации, поступающей в результате эксперимента. Наличие дополнительной информации уменьшаетаприорную неопределенность.Поэтому степень доверия к апостериорным вероятностям должна быть больше,чем к соответствующим априорным вероятностям.

Пусть требуется оценить надежность изделий, которые производятся некоторой фирмой. Фирма заявляет, что надежность изделий = 98%. Надежность оценивается также агенством, осуществляющим испытание изделий.Агенство утверждает, что надежность изделий составляет 90%. Заказчик, покупающий изделие, сомневается в оценке над-ти изделий фирмой и агенством. Согласно субъективному мнению заказчика, вероятность того, что заявление фирмы верно, равно 0,4, а вероятность того, что верно утверждение агенства, равно 0,6. С целью уменьшения априорной неопределенности, заказчик осуществляет испытание i-тых изделий.

Рис.18.8 — Испытание изделий

В данной задаче имеем 2-х альтернативную ситуацию.

H₁ = (P_ф = 0,98)

H₂ = (P_а = 0,9)

Известны априорные вероятности альтернатив, отражающие субъективное мнение заказчика.

Р(H₁) = Р(P_ф = 0,98) = 0,4

Р(H₂ = Р(P_а0,9) = 0,6

В результате испытания 2-х изделий могут быть события: А, В или С.

А — 2 неудачи; В — 1 неудача, 1 успех; С — 2 успеха.

Предположим, что в результате испытаний произошло событие А. Найдем условие вероятности события А.

Р(А/H₁) = Р(неудача при 1-ом испытании/H₁)⋅Р(неудача при 2-ом испытании/H₁) =
= (1-0,98)⋅(1-0,98) = 0,0004

Р(А/H₂) = Р(неудача при 1-ом испытании/H₂)Р(неудача при 2-ом испытании/H₂) = = (1-0,9)⋅(1-0,9) = 0,01

Теперь возможно осуществить переоценку исходных альтернатив

P(H₁/A) = [P(H₁)⋅P(A/H₁)]/∑[P(H_l)⋅P(A/H_l)] = ... = 0,03

P(H₂/A) = [P(H₂)⋅P(A/H₂)]/∑[P(H_l)⋅P(A/H_l)] = ... = 0,97

С вероятностью 0,97 можно утверждать, что надежность изделия составляет 90%.