Выбор оптимальной стратегии на основе байесовской теории решений

Процедура структуризации проблемы в виде дерева решений

Пусть требуется выбрать оптимальную стратегию для некоторой организации, которая желает установить дорогостоящее оборудование зарубежного производства.

Исправность оборудования могут оценить приглашенные специалисты, услуги которых необходимо оплачивать. Если они не приедут, то решить этот вопрос затруднительно. Конечно, можно дождаться их приезда, однако в одном случае возможны задержки с установкой оборудования, что сулит организации неприятности. К тому же организация не очень-то доверяет оценкам специалистов. По мнению организации, вероятность того, что специалисты правильно оценивают исправность оборудования = 0,7. Согласно оценки организации, вероятность исправного состояния оборудования не превышает 0,4.

Для структуризации проблемы в виде дерева решений рекомендуется следующая процедура:

1. Составляется список всех возможных экспериментов {e}, которые могут быть осуществлены.

e₁ — ожидать приезда специалистов;

e₂ — устанавливать оборудование своими силами;

2. Составляется список всех возможных результатов{z}, которые получают после осуществления экспериментов

z₁ — по оценке специалистов оборудование исправно;

z₀ — по оценке специалистов оборудование не исправно;

z_н — неопределенность.

3. Составляется список всех возможных операций {a}, которые предпринимаются после получения результатов эксперимента.

a₁ — проверить исправность оборудования;

a₀ — не проверять исправность оборудования.

4. Составляется список всех возможных состояний {Q}, которыми характеризуется оборудование в действительности.

Q₁ — оборудование исправно;

Q₀ — оборудование неисправно.

5. На основе данных пунктов 1-4 разрабатывается многоальтернативный граф, который представляет собой дерево решений.

U₁ = U(e₁, z₁, a₁, Q₁)

U₂ = U(e₁, z₁, a₁, Q₀)

.....................

6. Строится дерево.

Согласно байесовской теории решений, осуществляются следующие процедуры: прежде всего, по каждому маршруту дерева решений определяется возможный выигрыш; затем находятся априорные и апостериорные вероятностные распределения; наконец, выполняются необходимые расчеты, позволяющие выбрать оптимальную стратегию.

1. Оценивается значение каждого выигрыша U(e, z, a, Q), который представляется в виде суммы 2-х частей = U(e,z)+U(a,Q), где

2.

3. 3 — тратим 3000 руб. Перебирая все возможные матрицы на дереве решений, получаем:

U₁ = U(e₁, z₁, a₁, Q₁) = -3 + 0 = -3

U₂ = U(e₁, z₁, a₁, Q₀) = -3 + 5 = 2

U₃ = ... = 5

U₄ = ... = -13

U₅ = ... = -3

U₆ = ... = 2

U₇ = ... = 5

U₈ = ... = -13

U₉ = ... = 0

U₁₀ = ... = 5

U₁₁ = ... = 8 — наибольший выигрыш, но эти оценки ... и им доверять нельзя

U₁₂ = ... = -10

4. Исходя из содержания задачи, определяются априорные вероятности P(Q) P(Q₁) = 0,4 — «рыхлая» субъективная вероятность; P(Q₀) = 0,6

5. Исходя из содержания задачи, определяются условные вероятности: P(z/e,Q)

P(z₁/e₁, Q₁) = 0,7 — вероятность правильной оценки состояния оборудования

P(z₀/e₁, Q₁) = 0,3 — вероятность ошибочной оценки состояния оборудования

P(z₁/e₁, Q₀) = 0,3

P(z₀/e₁, Q₀) = 0,7

P(z_n/e₀, Q₁) = 1 — вероятность достоверного события

P(z_n/e₀, Q₀) = 1 — (специалисты не приехали)

Т.е. перебрали все возможные варианты условных вероятностей.

6. По формуле Байеса вычисляются апостериорные вероятности

P(Q₁/e₁,z₁) = [P(Q₁)⋅P(z₁/e₁,Q₁)]/[P(e₀)⋅P(z₁/e₁,Q₀) + P(Q₁)⋅P(z₁/e₁,Q₀)] = [0,4⋅0,7]/[0,6⋅0,3 + 0,4⋅0,7] = 0,61

P(Q₀/e₁,z₁) = [0,6⋅0,3]/[0,6⋅0,3 + 0,4⋅0,7] = 0,39

P(Q₁/e₁,z₀) = [0,4⋅0,3]/[0,6⋅0,7 + 0,4⋅0,3] = 0,22

P(Q₀/e₁,z₀) = [0,6⋅0,7]/[0,6⋅0,7 + 0,4⋅0,3] = 0,78

P(Q₁/e₀,z_н) = P(Q₁) = 0,4

P(Q₀/e₀,z_н) = P(Q₀) = 0,6

7. Для каждой комбинации (e,z) находится ожидаемый выигрыш от осуществления возможных операций а.

U(e,z,a) = ∑U(e,z,a,Q)⋅P(Q/e,z)

U(e₁,z₁,a₁) = U(e₁,z₁,a₁,Q₀)⋅P(Q₀/e₁,z₁) + U(e₁,z₁,a₁,Q₁)⋅P(Q₁/e₁,z₁) = 2⋅0,39 + 3⋅0,61 = -1,05

U(e₁,z₁,a₀) = -13⋅0,39 + 5⋅0,61 = -2,02

U(e₁,z₀,a₁) = 2⋅0,78 + 3⋅0,22 = 0,9

U(e₁,z₀,a₀) = -13⋅0,78 + 5⋅0,22 = -9,04

U(e₀,z_н,a₁) = 5⋅0,6 + 0⋅0,4 = 3

U(e₁,z_н,a₀) = -10⋅0,6 + 8⋅0,4 = -2,8

8. Для каждой комбинации (e,z) находится максимальный выигрыш и оптимальная операция.

U(e,z)_max = max(a{U(e,z,a)}) → a_opt

U(e₁,z₁)_max = max(a{U(e₁,z₁,a₀);U(e₁,z₁,a₁)}) = max(a{-2,02;-1,05}) = -2,02 → a_opt = a₁

U(e₁,z₀)_max = max(a{-9,04;0,9}) → a_opt = a₁

U(e₀,z_н)_max = max(a{-2,8;3}) → a_opt = a₁

9. Определяются вероятности P(z/e), которые описывают результаты всех возможных экспериментов z

P(z₁/e₁) = P(Q₀)⋅P(z₁/e₁,Q₀) + P(Q₁)⋅P(z₁/e₁,Q₁) = 0,6⋅0,3 + 0,4⋅0,7 = 0,46

P(z₀/e₁) = 0,6⋅0,7 + 0,4⋅0,3 = 0,54

P(z_н/e₀) = 1

10. Определяется ожидаемый выигрыш U(e) для каждого эксперимента E:

U(e) = ∑U(e,z)_max⋅P(z/e)

т.е. это формула для максимального ожидания. Сворачиваем «хвостики» = 0,9⋅0,54 - 1,05⋅0,46 = 0,003

Таким образом, оптимальная стратегия состоит в том, чтобы устанавливать оборудование силами организации, предварительно проверив его исправность.

11. Находится максимальный выигрыш U(e)_max и оптимальный эксперимент e_опт

U(e)_max = max(e{U(e)}) → e_опт

U(e)_max = max(e{U(e₀);U(e₁)}) =max(e{3;0,003}) = 3 → e_опт = e₀