Аналитический, когда функция задается при помощи математических знаков и их комбинаций, например

çc ç = ça ç· çb çsin(Ða, b) = ça ç· çb ç sin(φ),

3. направление вектора c определяется по правилу буравчика: если вращать рукоять буравчика от первого вектора ко второму по наименьшему углу, то поступательное движение буравчика показывает направление вектора c.

Векторное произведение единичных векторов осей координат - ортов i, j, kравно

k = i´ j,i = j´ k, j = k´ i.(3.15)

Векторное произведение не перестановочно:a´ b = - b´ a. Для коллинеарных векторов (лежащих на одной прямой) векторное произведение равно нулюa´ b = 0, если aççb. Для векторов заданных в форме проекций

с = a´ b = = i(y₁z₂ – y₂z₁) - j( x₁z₂ – z₁x₂) + k( x₁y₂ – x₂y₁). (3.16)

Длина вектора векторного произведение численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах: S = ça ç çb çsin(φ).

Замечание: векторное произведение обозначается знаком .

Смешаннымпроизведением векторов a, bиc называется векторно-скалярноепроизведение

a´ b × c = a × b ´ c º a b c = , (3.17)

т. е. два вектора (первый – второй или второй – третий) перемножаются векторно, а третий вектор умножают на результат векторного произведения скалярно. В записи смешанного произведения знаки произведений обычно опускают. Смешанное произведение равно нулю, если векторы компланарны (лежат в одной плоскости). Смешанное произведение используют для вычисления объема параллелепипеда и пирамиды, построенной на векторах a, b, c.

V_пар = êa b c ê; V_пир = êa b c ê.

Пример. Даны координаты вершин пирамиды А₁(1, -2, -3), А₂(-3, 1, 1), А₃(4, 3, -1), А₄(3, 2, 2). Найти площадь грани А₁ А₂ А₃ и объем пирамиды.

Решение. Площадь треугольника А₁А₂А₃ найдем, используя геометрический смысл векторного произведения векторов

,

где - векторное произведение векторов.

Вначале находим

,

а затем

ед².

Объем пирамиды найдем, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов

,

следовательно, ед³.

2.

уравнение AN : или ,

уравнение CN:или .

2. Далее рассуждаем так: AN – биссектриса угла А, поэтому на стороне АВ должна лежать точка С₁, симметричная точке С относительно AN. Аналогично на стороне ВС должна найтись точка А₁, симметричная точке A относительно биссектрисы CN. Найдем точки С₁ и А₁.

Составляем уравнение перпендикуляра CF, опущенного из вершины С на биссектрису АN :

, где .

Следовательно, уравнение CF: .

Рис. 1.8.

Находим координаты точки F пересечения AN и перпендикуляра CF, решая систему

откуда F(3,3).

Определяем координаты точки С₁, учитывая, что отрезок С₁С в точке F делится пополам и, следовательно,

или С₁(1,5).

Поступая аналогично, находим точку А₁(1,9).

Составляем уравнения сторон АВ и ВС, соответственно,

и

Или

и .

Находим координаты вершины В, решая систему

из которой следует, что В(2,7).

5. Составляем уравнение медианы ВЕ, предварительно найдя координаты точки Е - середины стороны АС. Имеем

.

Уравнение ВЕ:

или .

Кривые второго порядка.

Кривыми второго порядка называются линии, которые описываются алгебраическими уравнениями второй степени

Ax² + B xy + C y² + Dx + Ey + F = 0, (1.15)

причем хотя бы один из коэффициентов А, B, С должен быть не равен нулю.

Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке M(а,b) имеет вид

(x - a)² + (y - b)² = R² . (1.16)

Если раскрыть скобки, то мы увидим, что уравнение (1.16) получается из уравнения (1.15), если

A = C = 1, B=0, D =-2a, E = -2b, F = - R² + a² + b² .

Пример. Пусть задано уравнение х² + y² - 4x = 0. Является ли это уравнение уравнением окружности и, если да, то каков ее радиус и координаты центра?

Попробуем привести данное уравнение к виду (1.16). Выделим полный квадрат относительно х, прибавляя и вычитая число 4

x² + y² - 4x = (x² - 4x + 4) + y² - 4 = 0

или

(x - 2)² + y² = 2^2. (1.17)

Сравнивая (1.16) с (1.17), видим, что заданное уравнение есть уравнение окружности радиусом R =2 и с центром в точке M(2,0).

Эллипс - замкнутая кривая, для всех точек которой сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (т.е. одинакова) и равна, по определению, 2а (а>0).

Для эллипса, представленного на рис.1.9, сумма расстояний MF₁ и MF₂ равна сумме расстояний NF₁ и NF₂, т. е.

MF₁ + MF₂ = NF₁ + NF₂ = 2а,

причем

.

Уравнение эллипса, центр симметрии которого находится в начале координат, а фокусы F₁ (с,0) и F₂ (-с,0) лежат на оси ОХ симметрично относительно оси OY называется каноническим

. (1.18)

Параметры a и b называются полуосями эллипса(величины 2а и 2b называются осями), причем

a² = b²+c².

Отношение называется эксцентриситетом, эксцентриситет эллипса меньше единицы е < 1.

Уравнение (1.18) получим из (1.16) если

B = D = E = 0, , F=-1.

Очевидно, что окружность - частный случай эллипса, у которого a = b = R, а центр находится в начале координат.

Гипербола – неограниченная кривая, для всех точек которой разность расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и по определению равна 2а (рис. 1.10).

Разность

MF₂ – MF₁ = NF₁ – NF₂ = 2а.

где

.

Каноническое уравнение гиперболы, центр симметрии которой совпадает с началом координат, а фокусы F₁ и F₂ лежат на оси OX симметрично оси OY

. (1.19)

Параметры а и b называются полуосью и мнимой полуосью гиперболы, причем

c²=b²+a².

Эксцентриситет гиперболы больше единицы e > 1.

Уравнение (1.19) получим из (1.15) если

B = D = E = 0, , F=-1.

Особенность гиперболы – наличие асимптот - прямых к которым неограниченно приближается кривая при . Уравнения асимптот

.

Парабола - неограниченная кривая, все точки которой (рис. 2.12) равноудалены от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой, причем расстояние между фокусом и директрисой равно р.

Для параболы изображенной на рис.1.11 расстояния MK = MF , NF = NL и DO =OF. Каноническое уравнение параболы, фокус которой F(,0) лежит на оси ОХ, а директриса х = перпендикулярна ОХ, есть

y² = 2px, (1.20)

Уравнение (1.20) получим из (1.15) если

A = B = E = F = 0, C = 1, D = -2p.

Ось такой параболы совпадает с осью ОХ, а вершина лежит в начале координат.

Сделав поворот и сдвиг системы координат любое уравнение (1.15) можно привести только к одному из трех уравнений второй степени: (1.18), (1.19), (1.20) или к уравнению вида

а² х² = b² y² ,

которому соответствуют две прямые. Это означает, что уравнениями второй степени можно описать только эллипс (и его частный случай окружность), гиперболу или параболу. Важным свойством линий второго порядка является то, что все они могут быть получены (см. рис. 1.12) как сечения конуса плоскостью, пересекающего его под различными углами.

Ниже приведены канонические уравнения кривых второго порядка с центром симметрии (в случае параболы – вершиной) в начале координат (случай А) и в точке С(x₀, y₀) (случай В).

А В

Окружность
Эллипс
Гипербола
Парабола

Пример.Найти геометрическое место точек разность квадратов расстояний которых от точек А(1, 2) и В(5, 3) равна 4.

Решение.Обозначим за М(x, y) текущую точку кривой. Тогда по условию

МА – МВ = 4.

В координатной форме

, или

.

Перенесем второй корень направо и возведем в квадрат

или . Это уравнение прямой линии (рис. 1.13)

Рис. 1.13.

Глава 2. Геометрия в пространстве

Системы координат в пространстве.

Прямоугольная (декартова) система координатв пространстве возникает, если взяты три одинаковые взаимно перпендикулярные числовые оси - оси координат; которые пересекаются в точке O, называемой началом системы координат. Первую ось OX называют осью абсцисс, вторую ось OY - осью ординат, третью OZ - осью аппликат. Через каждые две (из трех) координатные оси проходит координатная плоскость.

Существуют две, не сводящиеся друг к другу, системы координат: правая система координати левая система координат. Различить эти системы координат можно следующим образом: если посмотреть из любой положительной точки оси OZ на ось OY и ось OX окажется справа, то это правая система координат, если слева - левая (сравните рис.2.1а и рис.2.1б).

Каждой пространственной точке M можно сопоставить ориентированный отрезок OM, берущий начало в точке начала координат и оканчивающийся в точке M (рис.2.2). Такой отрезок называют радиус-вектором точкиM. Спроектируем точку М на оси координат. Каждой точке M соответствуют три точки на осях (на рис.2.2 P, Q, R), их координаты называют координатамиточкиM. Они однозначно определяют положение этой точки в выбранной системе координат. Наоборот, задав на каждой из осей координат по одной точке, например, P, Q, и R, мы определим одну и только одну точку в пространстве. Эта точка получается при пересечении трех взаимно перпендикулярных плоскостей PM₁MM₃, QM₁MM₂, RM₂MM₃, проходящих соответственно через точки P, Q и R параллельно осям координат. Расстоянием между двумя точкамиM(x₁,y₁,z₁) и N(x₂,y₂,z₂). в пространственазывается число d, равное длине отрезка прямой соединяющей эти точки

d = . (2.1)

Например, расстояние между двумя точками M(2,-1,3) и N(-2,-1,0), согласно (3.16) равно

d =

В пространстве всякая поверхность может рассматриваться как некоторое множество точек, между координатами которых установлены определенные соответствия

F(x,y,z) = 0 (2.2)

Плоскость и прямая в пространстве.

Из геометрии известно, что через три точки M₀, M₁ и M₂ можно провести плоскость, причем единственным образом. Следовательно, добавив произвольную (текущую) точку плоскости М, можем построить три вектора М₀М, М₀М₁ и М₀М₂, принадлежащих плоскости L. Смешанное произведение таких векторов равно нулю

М₀М М₀ М₁ М₀ М₂ =0, (2.3)

или, в развернутой форме,

=0. (2.4)

Это уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

П

Плоскость L в пространстве можно задать единственным образом, если известна точка M₀(x₀,y₀,z₀), принадлежащая плоскости, и перпендикулярный плоскости вектор

N = {A, В, С}.

Если взять любую произвольную (текущую) точку плоскости M(x, y, z) и построить вектор М₀М L, то векторы Nи М₀М перпендикулярны, т. е. их скалярное произведение равно нулю

N × М₀М=0 Þ A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0. (2.5)

Это уравнение называется « уравнение плоскости, проходящей через данную точку».

Все уравнения плоскости можно свести к виду

Ax + By + Cz + D = 0. (2.6)

Это уравнение, линейное относительно всех неизвестных, называется общим уравнением плоскости в пространстве. Если D = 0, то уравнение Ax + By + Cz = 0 описывает плоскость, проходящую через начало координат.

Прямую в пространстве задаем как линию пересечения двух плоскостей. Общее уравнение прямой

(2.7)

Если заданы точка М₀, лежащая на прямой, и параллельный прямой вектор

S= {m, n, p},

то взяв текущую точку прямой М, постоим лежащий на прямой вектор М₀ М.

Векторы М₀ Ми Sпараллельны, следовательно пропорциональны их проекции на оси координат

. (2.8)

Это уравнение называется каноническим.

Пример. Даны координаты вершин пирамиды

А₁(1,-2,-3), А₂(-3,1,1), А₃(4,3,-1), А₄(3,2,2).

Составить: 1. Уравнение плоскости ,

2. Уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А₄ на грань .

Решение. 1. Уравнение плоскости запишем, используя каноническое уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

.

Подставив координаты точек А₁, А₂, А₃, получим

=

Разложив последний определитель по элементам первой строки, будем иметь

или

.

2.Уравнение высоты пирамиды представим в виде канонической системы уравнений прямой, проходящей через заданную точку А₄ с известным направляющим вектором . За направляющий вектор возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. .

Уравнение высоты: .

Примечание. Если бы в уравнении прямой один из знаменателей оказался нулевым, например

,

то уравнение прямой следовало бы записать в виде пересекающейся системы плоскостей

Наконец, если бы в уравнении прямой два знаменателя обратились в ноль, например,

,

это означало бы, что прямая является пересечением плоскостей и и ее уравнением будет система

аналитический, когда функция задается при помощи математических знаков и их комбинаций, например

y = sin(x);