Графический, когда функция задается с помощью графика, например

Табличный, когда функция задается таблицей или списками пар, например

(1,2); (2,5) (4,2)….

При такой записи первое число это х, а второе у.

Если область определения функции симметрична относительно оси Y, то можно ввести понятия четности и нечетности функции. Четной называется функция удовлетворяющая условию

f (-x) = f (x). (1.5)

График такой функции симметричен относительно оси Y. К четным функциям относятся, например, y = cos (x).

Нечетной называется функция удовлетворяющая условию

f (-x) = - f(x). (1.6)

График такой функции симметричен относительно начала координат. К нечетным функциям относятся, например, y = sin(x).

Функция называется возрастающей(убывающей), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е.

возрастающая функция

и

убывающая функция.

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями.

Число х₀ называется корнем функции, если

f (x₀) = 0.

Например, lg (x) = 0 при х₀ = 1.

Если функция задана на всей оси, т.е. область определения функции , то периодом функции называется наименьшее из чисел Т, удовлетворяющее условию

f (x + Т) = f(x) = f (x - Т). (1.7)

Пример 1. Найти область определения функции

Решение. Если числовая функция задана аналитически и область ее определения не указана, то считают, что эта область есть множество всех действительных значений аргумента, при которых выражение - действительное число. Для существования заданной функции необходимо, чтобы имело место неравенство . Для существования функции должно иметь место неравенство , откуда . Область определения исходной функции или .

Пример 2. Найти область определения функций:

Решение. Для приведенных выше функций области определения удовлетворяют условиям:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Следовательно,

;

;

;

;

;

.

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение. Для существования функции необходимо, чтобы . Для существования функции надо, чтобы , откуда . Для существования функции необходимо, чтобы , откуда и .

Таким образом, получены условия

.

Пример 4. Найти область определения функции

.

Решение. Так как , то

.

Решив неравенство, найдем область определения функции

Применим метод интервалов (рис. 1.1)

1.
1/3 1	.
2.
-1 1	.
Рис. 1.1.

Система неравенств имеет решение .

Следовательно, .

Пример 5. Определить, являются ли функции

1. ;

2. 2. ;

3. ;

4.

четными или нечетными.

Решение. Для определения свойств четности или нечетности функции следует проверить выполнение следующих положений:

1. Является ли область определение симметричной относительно начала координат, т.е. если , то и ;

3. Выполняются ли равенства или . При выполнении первого равенства функция окажется четной с графиком, симметричным относительно оси ординат, во втором – нечетной с графиком, симметричным относительно начала координат.

Для указанных в задаче функций:

1. ,

то функция - нечетная;

1. ,

то функция является четной;

1. ,

следовательно, функция нечетная;

1. ,

следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример 6. Найти период функции .

Решение.

Так как , то период Т=1.

Глава 2. Определение предела функции. Определение бесконечно малой и бесконечно большой величины.

e-окрестностью точки A называется отрезок (A-e, A+e). Аналогично δ - окрестностью точки х₀ называется отрезок (х₀ - δ, х₀ + δ).

Предел функции

Пусть на некотором отрезке задана функция f(x). Число A называется пределом функцииy = f (x) при x®x₀ (при х стремящемся к х₀), если для каждого сколь угодно малого числа e > 0 можно указать зависящее от e положительное число d(e) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству ½x₀ - х½< d (т.е. лежащих в δ – окрестности точки х₀), имеет место неравенство ½A – f (x)½ < e. Запись

или . (2.1)

Наличие у функции f(x) предела A в точке х₀ означает, что как только независимая переменная х достаточно близко приблизится к значению х₀, то функция f(x) будет сколь угодно близка к A.

Пример.Доказать, что .

Решение. Зададим произвольное и покажем, что существует положительное такое, что из неравенства вытекает неравенство .

Действительно

.

Значит, если положить , то выполнение неравенства влечет за собой выполнение неравенства . Таким образом, согласно определению, заключаем, что

Если при х®x₀ функция f(x) стремится к 0, то ее называют бесконечно малой функцией или бесконечно малой величиной(или просто бесконечно малой)в окрестности точки x₀. Бесконечно малые обозначают греческими буквами a, b, g.

Тем самым для бесконечно малой функции для каждого сколь угодно малого числа e > 0 можно указать зависящее от e положительное число d(e) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству ½x₀ - х½< d, имеет место неравенство ½ α(х) ½ < e. Запись

. (2.2)

Примеры бесконечно малых величин:

a(х) = 2x - 6 при х ® 3,

b(х) = e^-x при х ® ¥,

g(х) = sin x при х ® 0 и т.п.

Бесконечно малые величины часто обозначают символом «0».

Для бесконечно малых функций справедливы следующие утверждения: