имеет длину численно равную произведению длин векторов на синус угла между ними

çc ç = ça ç· çb çsin(Ða, b) = ça ç· çb ç sin(φ),

3. направление вектора c определяется по правилу буравчика: если вращать рукоять буравчика от первого вектора ко второму по наименьшему углу, то поступательное движение буравчика показывает направление вектора c.

Векторное произведение единичных векторов осей координат - ортов i, j, kравно

k = i´ j,i = j´ k, j = k´ i.(3.15)

Векторное произведение не перестановочно:a´ b = - b´ a. Для коллинеарных векторов (лежащих на одной прямой) векторное произведение равно нулюa´ b = 0, если aççb. Для векторов заданных в форме проекций

с = a´ b = = i(y₁z₂ – y₂z₁) - j( x₁z₂ – z₁x₂) + k( x₁y₂ – x₂y₁). (3.16)

Длина вектора векторного произведение численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах: S = ça ç çb çsin(φ).

Замечание: векторное произведение обозначается знаком .

Смешаннымпроизведением векторов a, bиc называется векторно-скалярноепроизведение

a´ b × c = a × b ´ c º a b c = , (3.17)

т. е. два вектора (первый – второй или второй – третий) перемножаются векторно, а третий вектор умножают на результат векторного произведения скалярно. В записи смешанного произведения знаки произведений обычно опускают. Смешанное произведение равно нулю, если векторы компланарны (лежат в одной плоскости). Смешанное произведение используют для вычисления объема параллелепипеда и пирамиды, построенной на векторах a, b, c.

V_пар = êa b c ê; V_пир = êa b c ê.

Пример. Даны координаты вершин пирамиды А₁(1, -2, -3), А₂(-3, 1, 1), А₃(4, 3, -1), А₄(3, 2, 2). Найти площадь грани А₁ А₂ А₃ и объем пирамиды.

Решение. Площадь треугольника А₁А₂А₃ найдем, используя геометрический смысл векторного произведения векторов

,

где - векторное произведение векторов.

Вначале находим

,

а затем

ед².

Объем пирамиды найдем, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов

,

следовательно, ед³.