Й шаг. Делим вторую строку на 11.

4-й шаг. 2-ю строку оставляем без изменения. Вместо 1-й строки записываем следующую ее комбинацию со 2-й: 2-ю строку умножаем на 2 и складываем ее с 1-й строкой, тогда

Вместо 3-й строки записываем ее комбинацию со 2-й: 2-ю строку умножаем на (-14) и складываем ее с 3-й строкой, тогда

В результате 3-го и 4-го шагов 1-й столбец матрицы не изменился, а 2-й превратился в .

5-й шаг. Делим 3-ю строку на

6-й шаг. 3-ю строку оставляем без изменения. Вместо 1-й строки записываем ее комбинацию с 3-й: 3-ю строку умножаем на и складываем ее с 1-й строкой, тогда

Вместо 2-й строки записываем ее комбинацию с 3-й: 3-ю строку умножаем на и складываем ее со 2-й строкой, тогда

В результате 5-го и 6-го шагов 3-й столбец принял вид .

Таким образом, решение системы следующее:

Проверка

Таким образом, смысл метода Гаусса состоит в том, что сначала 1-й столбец исходной матрицы приводим к виду , затем 2-й - к виду и, наконец, 3-й – к виду . При этом происходит преобразование столбца свободных членов.

Глава 3. Векторная алгебра

Вектором называется направленный отрезок прямой. Из определения следует, что вектор имеет три характеристики: прямую на которой он лежит, направление по прямой и длину. Первые две характеристики объединяются одним понятием – направление. Обозначаются вектора по точкам начала и конца АВили . Различают три вида векторов: свободные вектора, которые не меняются при параллельном переносе, вектора, которые можно переносить только по прямой на которой они лежат (например, вектора сил в механике) и радиус вектора, начало которых всегда находится в начале координат. Мы будем рассматривать только свободные вектора. Свободные вектора называют равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину (рис 3.1), т. е. параллельный перенос вектора не меняет. Свободные вектора обозначают одной буквой или а, b и т. д. Длину вектора обозначают при помощи модульных скобок = çаç= а.

Вектора складывают по правилу параллелограмма: совмещают концы векторов, строят на векторах как на сторонах параллелограмм; суммой векторов называют вектор диагонали исходящий их общего начала a+ b= c(рис.3.2). Вектора можно складывать и по правилу треугольника (рис. 3.3). Правило треугольника можно применить к сумме любого числа векторов (рис 3.4)

Рис. 3.1

Рис. 3.2. Рис. 3.3. Сложение векторов

Умножение вектора на числоλ идет по следующему правилу: при умножении на положительное число направление вектора сохраняется, при умножении на отрицательное – меняется на противоположное, а длина определяется по правилу (рис 3.5).

çλа ç = а(3.2)

По определению a- b= a+ (-1)b.

Рис. 3.4 Сложение нескольких векторов

Рис. 3.5. Умножение вектора на число

Проекциейвектора на ось ОХ называется число равноеразности координат проекций конца и начала вектора

pr_OXAB= x₂ – x ₁= çAB çcos(α), (3.6)

где α - угол между вектором и осью (рис. 3.6).

Аналогично можно ввести проекцию вектора на оси OY и OZ:

pr_OYAB= y₂ – y₁= çABçcos(β) (3.6)

pr_OZAB= z₂ – z₁= çABçcos(γ) , (3.7)

где β и γ углы между вектором АВи осями OY и OZ. Косинусы углов cos(α), cos(β) и cos(γ) называют направляющими косинусами

cos²(α)+cos²(β)+cos²(γ) = 1. (3.8)

Рис. 3.6. Проекция вектора на ось ОХ

Если ввести i, j иk - единичные вектора осей ОХ, OY и OZ (их называют ортами), то вектор

A₁B₁ = i(x₂ – x₁),A₂B₂ = j(y₂ – y₁) иA₃B₃ = k(z₂ – z₁). (3.9)

По правилу сложения векторов (рис. 3.7):

AB= A₁B₁ + A₂B₂+ A₃B₃= i(x₂ – x₁) + j(y₂ – y₁) + k(z₂ – z₁) ≡{(x₂ – x₁), (y₂ – y₁), (z₂ – z₁)}.

Равенство

AB= {(x₂ – x₁), (y₂ – y₁), (z₂ – z₁)}(3.10)

называется «запись вектора в форме проекций».

Операции с векторами a, b заданными в форме проекций идут по следующему правилу:

a = {x₁, y_1, z₁)}; b = {x₂, y₂, z₂}

a+ b ={ (x₁+x₂), (y₁ + y₂), (z₁ + z₂)}; (3.11)

λa = {λx₁, λ y₁, λz₁}. (3.12)

Скалярным произведением векторов a = {x₁, y_1, z₁)}; b = {x₂, y₂, z₂} называют число равное произведению длин векторов на косинус угла между ними

а× b = (a,b) = ça ç· çb çcos(Ða, b) = x₁ x₂+ y₁ y₂ + z₁z₂. (3.13)

Скалярное произведение перестановочно: а×b=b×а. Если вектора перпендикулярны, то скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов используют для определения длины вектора

а× a = x₁x₁+ y₁y₁ + z₁z₁ = x₁²+ y₁² + z₁²Þ ça ç= (3.14)