При амплитудной модуляции амплитуда несущего колебания изменяется пропорционально мгновенным значениям модулирующего сигнала um(t), то есть получает приращение и становится равной:
(7.4)
Где А0 – амплитуда несущей; а – коэффициент пропорциональности, выбираемый так, чтобы амплитуда А(t) всегда была положительной. Частота и фаза несущего гармонического колебания при АМ остаются неизменными.
Временная диаграмма АМ сигнала показана на рис. 5.2, из которого видно, что в соответствии с мгновенными значениями um(t) амплитуда несущей Ао увеличивается до значения Ammaxполучая приращения , то уменьшается до Amin, получая приращение . Обращает на себя внимание, что амплитуда А(t) повторяет форму модулирующего сигнала um(t). В АМ сигнале амплитуда А(t) является огибающей высокочастотного заполнения (на рис.7.2,б она изображена штриховой линией).
Рисунок 7.2 - Амплитудно – модулированный сигнал:
а ) модулирующий сигнал um(t);
б) АМ сигнал
Коэффициент модуляции:
. (7.5)
Математическая модель:
. (7.6)
7.3.2 Частотная модуляция
При частотной модуляции отклонение частоты модулированного сигнала от ωо изменяется пропорционально мгновенным значениям модулирующего сигнала um(t):
.(7.7)
где ∆ωД –коэффициент пропорциональности
∆ωД называют девиацией частоты и она равна наибольшему отклонению частоты несущей ω0. Изменение частоты ЧМ сигнала графически показано на рис. 7.3 , где отмечена девиация частоты ∆ωД, соответствующая наибольшему отклонению частоты вниз ∆ωД=∆ω-, поскольку ∆ω+ <∆ω. Величина um(t) нормирована, то есть | um(t)|≤1.
Рисунок 7.3 - Мгновенная частота ЧМ сигнала:
а) модулирующий сигнал;
б) изменение мгновенной частоты
Девиация частоты является одним из важных параметров частотных модуляторов и может принимать значения от единиц герц до сотен мегагерц в модуляторах различного назначения. Однако, всегда необходимо чтобы выполнялось условие << .
Полную фазу ЧМ сигнала с частотой (8.7) находим путем интегрирования , т.е.
где ψо можно рассматривать как постоянную интегрирования.
Тогда аналитическое выражение (математическая модель) ЧМ сигнала запишется в виде
. (7.8)
Поскольку um(t) входит в это выражение под знаком интеграла, ЧМ часто называют интегральным видом модуляции.
8 Лекция 8. Фазовая модуляция.
Цель лекции: ознакомление с фазовой модуляцией информации и временным, спектральным, векторным представлением сигналов АМ и ЧМ.
Содержание:
а) фазовая модуляция носителей информации;
б) временное, спектральное и векторное представление сигналов
АМ и ЧМ.
8.1 Фазовая модуляция
При фазовой модуляции, отклонение (сдвиг) фазы модулированного сигнала от линейной ω0t+ψ0 изменяется пропорционально мгновенным значениям модулирующего сигнала um(t)
. (8.9)
Где - коэффициент пропорциональности, называемый девиацией фазы. Физический смысл этого коэффициента поясняется рис.8.1, где изображены модулирующий сигнал и полная фаза ФМ сигнала. С увеличением сигнала um(t) полная фаза растет во времени быстрее, чем по линейному закону. При значениях сигнала um(t)<0 происходит спад скорости роста . Абсолютная величина отклонения (сдвига) фазы от линейной наибольшая, когда um(t) достигает экстремальных значений. На рис 8.1,б отмечено максимальное отклонение фазы вверх и вниз . Наибольшее отклонение фазы от линейной и является девиацией фазы . Измеряется в радианах и может принимать значение от единиц до десятков тысяч радиан.
б)
Рисунок 8.1 - Полная фаза ФМ сигнала:
а) модулирующий сигнал;
б) изменение полной фазы
Математическая модель:
(8.2)
8.2 Временное, спектральное и векторное представление сигналов
АМ и ЧМ
Временная диаграмма АМ сигнала показана на рисунке 7.2.
Спектральная диаграмма однотонального АМ сигнала, построенная по
(8.3)
симметричной относительно несущей частоты (рисунок 8.2). Амплитуды боковых колебаний одинаковы и даже при М=1 не превышают половины амплитуды несущего колебания А0.
Рисунок 8.2 - Спектральная диаграмма АМ сигнала при
однотональной модуляции
При гармоническом несущем сигнале временная диаграмма ЧМ:
Рисунок 8.3
Спектральная диаграмма ЧМ сигнала:
Рисунок 8.4
Векторные диаграммы АМ и ЧМ представлены на рисунке 8.5.
Рисунок 8.5 - АМ сигнал (а), ЧМ сигнал (б)
8.3 Ширина полосы частот и различие в спектрах ЧМ и ФМ сигналов
При однотональной модуляции
Отсюда следует, что спектры ФМ и ЧМ одинаковы, если mЧМ= mФМ= m, поэтому будем рассматривать один из них, например ЧМ, для упрощения записей ψ0=0 и Ψ=0.
Для построения спектральной диаграммы ЧМ необходимо знание функций Бесселя Jk(m) при различных значениях k и m. Их можно найти в математических справочниках. На рис 8.6 приведены графики функций Бесселя при k, m≤8. Значения функций Бесселя, не отображенных на графике можно найти по формуле
Jk+1(m)=(2k/m) Jk(m)- Jk-1(m)
Рисунок 8.6 - Графики функций Бессаля
Из графиков функции Бесселя следует интересная закономерность: чем больше порядок k функции Бесселя, тем при больших аргументах m наблюдается её максимум, однако при k >m значения функций Бесселя оказывается малой величиной. А раз так, то малыми будут и составляющие спектра и ими можно пренебречь. В практике считают, что можно пренебречь всеми спектральными составляющими, номера которых k >m+1 (уровень меньше 5% от уровня несущей). Отсюда следует что ширина спектра сигнала
∆fЧМ,ФМ≈2(m+1)FM (8.4)
где FM=Ω/2π – частота модулирующего сигнала. Для передачи модулированного сигнала с высокой точностью иногда считают, что надо учитывать спектральные составляющие с уровнем не менее 1% от уровня несущей. Тогда ширина спектра с угловой модуляцией (рисунок 6.4)
∆fЧМ,ФМ≈2(m++1)FM
Различие между ЧМ и ФМ проявляется только при изменении частоты модуляции Ω. При ЧМ , поэтому при m>>1 полоса практически не зависит от Fm. При ФМ и при m>>1 ширина спектра будет равна , т.е. она зависит от модулирующей частоты Fm. В этом и состоит различие в спектрах ЧМ и ФМ. В случае малого индекса модулирующий спектр ЧМ и ФМ сигналов, так же как и в случае АМ, имеет только три составляющие:
(8.5)
9 Лекция 9. Импульсная модуляция.
Цель лекции: ознакомление с применением импульсной техники для передачи сигналов, импульсная модуляция, амплитудно - импульсная модуляция (АИМ), широтно-имульсная модуляция(ШИМ), фазо-импульсная модуляция(ФИМ), их характеристики.
Содержание:
а) Применение импульсной техники для передачи сигналов, импульсная модуляция, амплитудно - импульсная модуляция (АИМ), широтно-имульсная модуляция(ШИМ), фазо-импульсная модуляция(ФИМ), их характеристики;
б) методы дискретной модуляции;
в) спектр импульсных последовательностей.
9.1 Применение импульсной техники для передачи сигналов, импульсная модуляция, амплитудно - импульсная модуляция (АИМ), широтно-имульсная модуляция(ШИМ), фазо-импульсная модуляция(ФИМ), их характеристики
В системах с импульсной модуляцией переносчиком информации служит периодическая последовательность импульсов одинаковой формы
(9.1)
где U(t) – нормированная функция, характеризующая форму импульса; Ао – амплитуда импульса; tk – начало переднего импульса k – го импульса tk=kTi+to; Ti – период следования импульсов; tо – начало отсчета последовательности; τk – длительность k – го импульса, отсчитываемая на некотором заданном уровне.
При модуляции один из параметров последовательности изменяется в соответствии с передаваемым сообщением .
При амплитудно – импульсной модуляции (АИМ) изменяется амплитуда импульса А:
. (9.2)
При широтно-имульсной модуляции (ШИМ) изменяется длительность импульса:
(9.3)
где - максимальное отклонение фронта импульсов в одну сторону.
При фазо-импульсной модуляции(ФИМ) изменяется сдвиг импульсов относительно тактовых точек :
. (9.4)
Рисунок 9.1 - Сигналы при различных видах импульсной модуляции
9.2 Методы дискретной модуляции.
При дискретной модуляции закодированное сообщение U(t), представляющее собой последовательность кодовых символов {ai}, преобразовывается в последовательность элементов сигнала {si}. Последние отличаются от кодовых символов лишь электрическим представлением. В частном случае дискретная модуляция состоит в воздействии кодовых символов {ai} на переносчик f(t). Такая дискретная модуляция аналогична непрерывной.
Посредством модуляции один из параметров переносчика изменяется по закону, определяемому кодом. Обычно же в качестве переносчика используется непрерывный ток ( гармоническое колебание ). В этом случае можно получить амплитудную (АМ), частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ) модуляции. Дискретную модуляцию часто называют манипуляцией, а устройство, осуществляющее дискретную модуляцию (дискретный модулятор), называют манипулятором или генератором сигналов.
При АМ символу 1 соответствует передача несущего колебания в течении времени τо (посылка), символу 0 – отсутствие колебания(пауза). При ЧМ передача несущего колебания с частотой f1 соответствует символу 1, а передача колебания f0 соответствует 0. При ФМ меняется фаза несущей на 180º при каждом переходе от 1 к 0 и от 0 к 1. Модулированный сигнал при этом также будет принимать два значения – s1(t), s2(t).
В настоящее время применяется относительная фазовая модуляция (ОФМ). В отличие от ФМ фаза несущего колебания изменяется на 180º при передаче символов 1 и остается неизменной при передаче символов 0.
При ОФМ манипуляция каждой данной посылки осуществляется относительно предыдущей. Таким образом можно манипулировать любой параметр несущего колебания: при изменении частоты получим (ОЧМ), при изменении амплитуды относительную амплитудную манипуляцию (ОАМ).
Спектр манипулированных сигналов. Сигналы s1(t) и s2(t) – отрезки гармонических колебаний, поэтому их спектры хотя и бесконечны, но все же сосредоточены возле частот несущих ω0,ω1,ω2.
Рисунок 9.2 - Временные диаграммы сигналов при дискретной модуляции
Таблица 9.1 - Ширина спектров манипулированных сигналов
Вид манипуляции
АМ
ЧМ
ФМ
ОФМ
Ширина спектра, Гц
2В
2(В+∆fД)
2В
2В
Для расчета характеристик канала связи предназначенного для передачи манипулированных сигналов обычно не требуется знания точной структуры спектра, достаточно определить ширину спектра двоичных манипулированных сигналов, полученные на основе формулы
сведены в таблице 9.1 . Обозначения в ней следующие: В – скорость модуляции, Бод; ∆fД – девиация частоты, Гц.
9.3 Спектр импульсных последовательностей.
Для импульсных последовательностей спектр является дискретным:
т.е. амплитуды комплексного спектра могут быть получены из непрерывного спектра при дискретных значениях arg
Для Т=2 :
Т.е. в спектре имеются только нечетные гармоники: 1, 3, 5,…..
Для Т=5 :
Рис.9.3
10 Лекция 10. Теория помехоустойчивого кодирования
Цель лекции: ознакомление c теорией помехоустойчивого кодирования и теоремой об эффективном кодировании.
Содержание:
а) теория помехоустойчивого кодирования;
б) пропускная способность и скорость передачи информации;
в) избыточность сообщений;
г) теорема об эффективном кодировании.
10. Теория помехоустойчивого кодирования
10.1 Пропускная способность и скорость передачи информации
Для электросвязи задача обеспечения помехоустойчивости является одной из главных. Система связи должна быть спроектирована и эксплуатироваться так, чтобы она при наличии помех обеспечивала заданное качество передачи сигналов и сообщений. Расчет влияния помех на передачу сигналов и разработка способов уменьшения этого влияния является основными вопросами, решаемыми в теории помехоустойчивости.
Помехоустойчивое кодирование сообщений или кодирование с прямым исправлением ошибок применяется в системах связи, в которых отсутствует или недоступен обратный канал для передачи запросов на повторную передачу, задержки в канале при запросах повторной передачи оказываются недопустимо большими или, наконец, уровень помех настолько велик, что количество повторных передач становится чрезвычайно большим.
Скорость передачи – это количество взаимной информации, передаваемой по каналу связи в единицу времени,
Пропускная способность – это максимально достижимая для данного канала скорость передачи информации
C= Rmax= max F*I (A’,A), {P} или {W} (10.2)
где максимум ищется по всем распределениям вероятностей источника ДС или всем ФПВ источники НС. Величина С является характеристикой только канала связи и не зависит от статистики источника сообщений.
10.2 Избыточность сообщений
В качестве источника сообщений рассмотрим оператора, который вводит в компьютер текста на русском языке. Очевидно, что буквы в тексте появляются с разными вероятностями. Так, буква А передается значительно чаще чем Ц или Ю. Кроме того, появление очередной буквы зависит от предыдущей. Ясно, что после гласных не появится Ь, Ъ или Ы. Весьма редким будет появление подряд трех букв Е (в слове «змееед»). Таким образом, на выходе источника «с памятью» (зависимыми сообщениями) неопределенность оказывается меньше, чем при отсутствии памяти, когда сообщения появляются хаотично. Таким образом, мы подошли к понятию избыточности источника, которую формально можно определить соотношением:
. (10.3)
Отсюда видно, чем больше энтропия, тем меньше избыточность источника и наоборот. Ясно также, что величина избыточности принимает значения в пределах 0≤ρ≤1.
Данная величина характеризует число букв (символов) n, используемых источником сообщений для передачи заданного количества информации, относительно необходимого букв.
Избыточность можно определить так:
ρ=(n-nmin)/n=1-nmin/n. (10.4)
Величину μ=H(A)/logN=nmin/n называют коэффициентом сжатия. Он показывает, до какого значения без потери информации можно сжимать передаваемые сообщения, если устранить содержащуюся в них избыточность. Например, при передаче телеграмм из текста исключают союзы, знаки препинания которые легко восстанавливаются при чтении на основании известных правил.
Очевидно, что избыточность приводит к увеличению времени передачи сообщений, излишней загрузке каналов связи и, как следствие, - к снижению эффективности их использования. Вместе с тем было бы неверным всегда рассматривать избыточность как признак несовершенства источника сообщений. В ряде случаев она бывает полезной. Наличие зависимостей между буквами и словами текста дает возможность восстанавливать его при искажении отдельных букв, т.е. избыточность можно использовать для повышения достоверности передачи информации в условиях воздействия помех.
Помимо избыточности важным параметром, характеризующим любой источник с фиксированной скоростью Vи=1/Ти симв/с выдачи сообщений, является его производительность, которую определяют как энтропию в единицу времени (секунду):
H’(A)=VиH(A). (10.5)
Если энтропия максимальна и равна log N, то величина Rи=logN/Tи, бит/с, называется информационной скоростью источника.
Смысл производительности – среднее количество информации, которое выдается источником в течение одной секунды непрерывной работы.
10.3 Теорема об эффективном кодировании.
Теоретическую основу эффективного кодирования составляет основная теорема К.Шеннона для канала без шума. Суть этой теоремы состоит в следующем.
Пусть источник имеет энтропию H (бит на символ), а канал имеет пропускную способность C (бит в секунду). Тогда можно закодировать сообщения на выходе источника таким образом, чтобы передавать символы (элементы) по каналу со средней скоростью C/H-E символов в одну секунду, где E – сколь угодно мало. Передавать элементы сообщения со средней скоростью, больше чем C/H, невозможно.
Рисунок 10.1
Отметим, что при кодировании элементов ДС, передаваемых по каналу связи без помех, необходимо выполнить следующие два условия:
Кодовые комбинации должны быть различны (т.е. однозначно декодироваться на приеме) и однозначно связаны с соответствующими элементами ДС;
2) способ кодирования должен обеспечить максимальную экономичность (минимальную среднюю значность) кода, при которой на передачу данного сообщения затрачивается минимальное время или обеспечивается максимальная скорость передачи. Эффективные коды, удовлетворяющие первому условию, называют префиксными (в этих кодах ни одна кодовая комбинация не является передней частью или «префиксом» другой кодовой комбинации). Коды, удовлетворяющие второму условию, называют оптимальными.
Минимальная средняя значность nmin оптимального кода при кодировании сообщений источника, вырабатывающего неравновероятные независимые друг от друга элементы находится из равенства
. (10.6)
Причем среднее число кодовых символов конкретного кода, приходящихся на один элемент (символ) сообщения, определяют так:
. (10.7)
Для оптимального двоичного эффективного кода (в=2, m=2)
. (10.8)
В этом случае условие оптимальности n=nminдостигается, если в (11.7) и (11.8) принять
. (10.9)
Итак, в оптимальном эффективном коде значность niкодовой комбинации , соответствующий элементу сообщения А, зависит от вероятности pi ее наступления. Чем больше вероятность, тем меньше значность кодовой комбинации и наоборот. С учетом этого, подобные коды называют еще статистическими (вероятностными). Кроме того, эффективные (статистические) коды относятся к неравномерным.
Избыточность кодера источника оценивают так:
. (10.10)
Примерами двоичных эффективных кодов, близких к оптимальным и обеспечивающих избыточность , близкую к нулю, являются коды Шеннона-Фано и Хаффмена.
Разберем принцип двоичного кодирования по методу Шеннона-Фано. Элементы , ДС располагаются вначале в виде столбца (группы) в порядке убывания их вероятностей. При кодировании на первом этапе эта группа разбивается на две подгруппы, по возможности с равными суммарными вероятностями. Всем элементам первой подгруппы приписывается первый кодовый символ 0, для второй подгруппы I. На втором этапе каждая из подгрупп также разбивается на две подгруппы с примерно равными вероятностями, и частная подгруппа определяет второй двоичный символ. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получатся подгруппы, содержащие только по одному элементу сообщения.
В таблице 10.1 приведен пример построения эффективного кода Шеннона-Фано для источника ДС с распределением вероятностей:
, , , .
Для данного источника: Н (А)=1,75 бит, Hmax= 2 бит, r(A)=0.125.
Для построенного кода: бит, nmin=1.75 бит, . Следовательно, данный код оптимален. В табл. 1.1 для сравнения построен равномерный примитивный код: бит. Отношение / = ксж называют коэффициентом сжатия. Здесь Ксж=1,15.
Цель лекции: ознакомление cпомехоустойчивыми корректирующими кодами.
Содержание:
а) общие сведения;
б) Блоковые коды;
в) избыточность сообщений;
г) связь корректирующей способности кода с кодовым расстоянием.
11.1. Общие сведения.
Необходимость введения избыточности.
Причем избыточность вводится, чтобы вводимые разряды удовлетворяли дополнительным условиям, проверка этих условий дает возможность обнаружить и исправить ошибки. Такие коды называются помехоустойчивые корректирующие коды и используются для обнаружения и исправления ошибок.
Обнаруживающие - коды которые обнаруживают ошибки.
В большинстве своем п/у коды являются алгебраическими т.е. результат проверки осуществляется в ходе выполнения над элементами кода алгебраических действий.
Алгебраические коды делятся:
Блоковые;
Неравномерные;
Блоковые коды имеют четкое деление на блоки, в пределах которых последовательности из R информационных символов ставятся в соответствие m контрольных: n=k+m
Блоковые коды могут быть равномерные, неравномерные если n=const.
Различают:
Разделимые – четкое деление на k и m символы
Неразделимые - нет деления на k и m символы (требуется в криптографии)
Неравномерные коды. В отличие от блоковых избыточность вводится непрерывно без разделения последовательности на блоки.
Могут быть:
Разделимыми;
Неразделимыми.
Пример непрерывного кода - реккурент (сверточно)
11.2 Блоковые коды
11.2.1. Общие принципы использования избыточности
Способность кода обнаружить и исправить ошибки обусловлено наличием избыточных символов.
Обнаружение ошибок. Рассмотрим последовательность информационных символов, поступивших на вход кодирующего устройства на выходе КУ каждому блоку из k символов ставится в соответствие блок из n символов.
Возможно вычислить: - безошибочная передача;
-переход в другие разряды КК (необн. ош.);
-переход в неразр. КК (обн. ошибка);
Следовательно, часть обнаруженных КК от общего числа возможных случаев равна:
В пределе : k=n -> Kобн =0
Допустим: n =k+1 т.е. имеется всего один избыточный символ тогда:
Тогда будет обнаружено половина всех ошибок.
Исправление ошибок.
При декодировании необходимо полученные КК разбить на непересекающихся множества М, каждое из которых ставится в соответствие одной из разрешенных КК. При получении какой либо КК, В – принадлежит множеству М мы примем ее как передаваемая кодовая комбинация А, ошибка может быть исправлена в случаях.
Всего случаев перехода в неразрешенные комбинации КК:
т.е. при наличии избыточности код способен исправлять ошибки:
Чем больше контрольных символов, тем меньше возможность их исправить. Способ разбиения на множества зависит от характеристик кода. Большинство помехоустойчивых кодов разработаны для исправления взаимно независимых ошибок и исправления пакетов ошибок.
Взаимно независимые ошибки зависят от текущих искажений и не зависят от предыстории.
При взаимно независимых ошибках вероятность искажения любых r символов в n – разрядной КК: – вероятность ошибки.
Т.к. p<<1 , то наиболее вероятны ошибки низшей кратности.
11.2.2 Связь корректирующей способности кода с кодовым расстоянием.
Степень различия двух КК называется расстоянием между ними (по Хэммингу) т.е. кодовое расстояние:
Å
1011011
0011110 d=7
Определяется сложением 2-х кодовых комбинаций по модулю 2.
Минимальное кодовое расстояние - определяется по всем парам кодовых комбинаций данного кода. Декодирование по методу максимального правдоподобия осуществляется следующим образом, чтобы принятая КК отождествлялась с разрешенной, которая отличается в наименьшем числе символов. При d=1 – все КК являются разрешенными.
Рассмотрим код n=3
пример равнодоступного кода.
пример равнодоступного кода. Любая ошибка трансформирует КК данного кода в другую – разрешенную. Это случай - доступного кода который не обладает обнаружением и исправляющими свойствами.
При d=2
разрешенная КК
запрещенная КК
Такой код обнаружит все одиночные ошибки.
В общем случае для обнаруживающего кода кодовое расстояние определяется:
. r – число обнаруженных ошибок.
Для исправления ошибки необходимо локализовать ошибку. Т.е. разбить всю КК на не пересекающиеся множества.
Допустим разрешенные КК: 1000 -> 001 010 100
1111 -> 110 101 110
Геометрическая интерпретация блоковых корректирующих кодов. Любая n – разрядная КК может быть представлена как вершина n – мерного единичного куба, длин ребра =1
12 Лекция 12. Коды обнаруживающие ошибки.
Цель лекции: Ознакомление cпомехоустойчивыми корректирующими кодами.
Содержание:
а) коды обнаруживающие ошибки;
б) математическое введение к групповым кодам;
в) избыточность сообщений;
г) построение двоичного группового кода;
д) определение числа избыточных символов.
12.1 Коды обнаруживающие ошибки.
Как указывалось выше для обнаружения ошибки кодовое расстояние по Хэммингу должно быть равно: , где r – число обнаруженных ошибок.
