6.1 Разложение непрерывного сигнала в ортогональные ряды
В теории связи для представления сигналов широко используются два частных случая разложения функций в ортогональные ряды: разложение по тригонометрическим функциям и разложение по функциям вида sin x/x. В первом случае получаем спектральное представление сигнала в виде обычного ряда Фурье, а во втором случае – временное представление в виде ряда В.А. Котельникова.
Простейшей с практической точки зрения формой выражения сигнала является линейная комбинация некоторых элементарных функций
. (6.1)
В общем случае, сигнал представляет собой сложное колебание, поэтому возникает необходимость представить сложную функцию s(t), определяющую сигнал, через простые функции.
При изучении линейных систем такое представление сигнала весьма удобно. Оно позволяет решение многих задач расчленить на части, применяя принцип суперпозиции. Например, чтобы определить сигнал на выходе линейной системы, вычисляется реакция системы на каждое элементарное воздействие ψk(t), а затем результаты, умноженные на соответствующие коэффициенты аk легко вычислялись и не зависели от числа членов суммы. Указанным требованиям наиболее полно удовлетворяет совокупность ортогональных функций.
Функции ψ1(t), ψ2(t), . . . . , ψn(t) . (6.2)
Заданные на интервале , называются ортогональными,
если при . (6.3)
6.2 Ряды Фурье и их применение в технике связи
Основой спектрального анализа сигналов является представление функций времени в виде ряда или интеграла Фурье. Любой периодический сигнал s(t), удовлетворяющий условию Дирихле, может быть представлен в виде ряда по тригонометрическим функциям
где , (6.4)
, (6.5)
. (6.6)
Величина а0, выражающая среднее значение сигнала за период, называется постоянной составляющей. Она вычисляется по формуле
. (6.7)
Весьма удобной является комплексная форма записи ряда Фурье
, (6.8)
где , .
Величина Ak есть комплексная амплитуда, она находится по формуле
. (6.9)
Соотношения (6.8) и (6.9) составляют пару дискретных преобразований Фурье. Необходимо отметить, что рядом Фурье можно представить не только периодический сигнал, но и любой сигнал конечной длительности. В последнем случае сигнал S(t) принимается периодически продолженным на всей оси времени. При этом равенство (6.4) или (6.8) представляет сигнал только на интервале его длительности (-Т/2,Т/2). Случайный сигнал (или помеха), заданный на интервале (-Т/2,Т/2), может быть также представлен рядом Фурье
, (6.10)
где akи bk являются случайными величинами (для флуктационной помехи – независимыми случайными с нормальным распределением).
Согласно теореме В.А.Котельникова любой сигнал u(t), не содержащий частоты выше Fm , можно точно восстановить по его отсчетам u(k∆t), взятым через интервалы ∆t=1/2Fm. Восстановление сигнала осуществляется с помощью ряда
. (6.11)
Ряд, определяемый выражением (6.11), называется рядом Котельникова. В нём коэффициенты разложения u(k∆t), равные мгновенным значениям непрерывного сигнала u(t) в моменты k∆t, являются отсчетами сигнала u(t), а функции
(6.12)
Эти функциями отсчетов, которые имеют одинаковую форму функции типа sinx/x и отличаются друг от друга временным сдвигом на интервал k∆t. Графики функции и их особые (максимумы, минимумы, пересечения с осями координат) показаны на рис. 6.1. Функции отсчетов представляют собой импульсную реакцию идеального ФНЧ с граничной частотой Fm , если на его вход подавать δ –функцию в момент k∆t.
Теорема Котельникова является основой для дискретизации непрерывных сигналов по времени, так как, во-первых, доказывает, что непрерывный сигнал можно заменить его дискретными значениями, во-вторых, даёт правило вычисления шага дискретизации ∆t=1/2Fm . При таком шаге дискретизации ряд Котельникова даёт точное временное представление сложного сигнала.
6.4 Пропускная способность непрерывного канала (без помех и с помехами)
Среднее количество информации , передаваемое сигналом на интервале Т:
HT(s) и HT(s/x) – энтропии. (6.13)
Скорость передачи информации по непрерывному каналу находится как предел:
. (6.14)
Максимальная скорость передачи в непрерывном канале определяет его пропускную способность
(6.15)
где максимум определяется по всем возможным ансамблям входных сигналов s.
Вычислим пропускную способность непрерывного канала, в котором помехой является аддитивный шум ω(t), представляющий собой случайный эргодический процесс с нормальным распределением и равномерным спектром. Средние мощности сигнала и шума ограничины величинами Рс и Рш, а ширина их спектра равна F.
Условная энтропия HT(x/s) при аддитивном шуме зависит только от его распределения рш(ω), что и объясняет термин энтропия шума. На интервале Т.
(6.16)
где n = 2FT.
Значения шума с равномерным спектром некоррелированы между собой в моменты отсчетов, разделенные интервалом Δt=1/2F. Отсутствие представить энтропию суммы n отсчетов шума (6.16) как сумму энтропий отдельных отсчетов, которые вследствие стационарности шума равны между собой. С учетом этих соображений можно записать
HT(ω)=nH(ω)=2FTH(ω) . (6.17)
При данной величине HT(x/s)=HT(ω) пропускная способность отыскивается путем максимизации. Отсюда . (6.18)
Здесь предполагается, что сигнал s и помеха ω независимы, поэтому мощность сигнала x равна сумме мощностей Рс+Рш. Тогда
. (6.19)
6.5 Модель НКС
Канал может быть представлен цепью с соответствующей импульсной характеристикой и источниками помех.
В канале всегда присутствуют аддитивные гауссовские помехи. Кроме гаусcовских в канале действуют помехи:
- гармонические (сосредоточенные по частоте);
- импульсные (сосредоточенные по времени);
- мультипликативные;
- перерывы связи (17,4 дБ).
К искажениям формы сигнала, также приводят:
- сдвиг частотных составляющих по частоте;
- фазовые скачки;
- фазовое дрожание.
Упрощенная модель канала представлена на следующем рисунке
Рисунок 6.2
На входе и выходе непрерывный канал связи– непрерывный сигнал, непрерывного времени.
7 Лекция 7. Методы формирования и преобразования сигналов в системах связи
Цель лекции: ознакомление с методами модуляции информации.
Модуляцией называется процесс управления одним или несколькими параметрами несущей (переносчика информации) в соответствии с изменением параметров первичного сигнала. Модулируемый параметр носителя называется информационным. Различают три вида модуляции: амплитудную (АМ), частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ).
В качестве несущей используются не только гармонические, но и импульсные колебания. При этом выбор способов модуляции расширяется до семи видов:
АИМ – амплитудно – импульсная модуляция заключается в том, что амплитуда импульсной несущей изменяется по закону изменения мгновенных значений первичного сигнала.
ЧИМ – частотно – импульсная модуляция. По закону изменения мгновенных значений первичного сигнала изменяется частота следования импульсов несущей.
ВИМ – время – импульсная модуляция, при которой информационным параметром является временной интервал между синхронизирующим импульсом и информационным.
ШИМ – широтно–импульсная модуляция. Заключается в том, что по закону изменения мгновенных значений модулирующего сигнала меняется длительность импульсов несущей.
ФИМ – фазо – импульсная модуляция, отличается от ВИМ методом синхронизации. Сдвиг фазы импульса несущей изменяется не относительно синхронизирующего импульса, а относительно некоторой условной фазы.
ИКМ – импульсно – кодовая модуляция. Ее нельзя рассматривать как отдельный вид модуляции, так как значение модулирующего напряжения представляется в виде кодовых слов.
СИМ – счетно – импульсная модуляция. Является частным случаем ИКМ, при котором информационным параметром является число импульсов в кодовой группе.
Модулированные сигналы различаются по виду несущей и по модулируемым параметрам. В качестве несущей в настоящее время широко используются гармонические колебания, периодическая последовательность импульсов, реже – колебания специальной формы, случайный узкополосный процесс.
Гармоническая несущая ,
например характеризуется тремя свободными параметрами: амплитудой, частотой и фазой. Все они могут быть информационными.
Модулированный сигнал, при гармонической несущей, в общем случае можно представить в виде
(7.1)
где A(t)- огибающая сигнала; ψ(t) – полная фаза.
За интервал времени, в течение которого полная фаза ψ(t) изменится на 2π, огибающая не успеет сильно измениться и ее можно считать медленно меняющейся.
Рисунок 7.1- Модулятор
В модулированном сигнале (7.1) мгновенная угловая частота есть производная от полной фазы во времени
. (7.2)
Из выражения (7.2) следует, что полная фаза
. (7.3)
При определении параметров модулированных сигналов обычно считают, что модулирующий сигнал um(t) нормирован, то есть максимальное абсолютное мгновенное значение равно единице - , а средняя мощность , где - коэффициент амплитуды сигнала.
Главная особенность модуляции при гармонической несущей – перенос спектра в область около частоты несущей. Именно это обстоятельство и привело к использованию только модулированных сигналов в радиосвязи, многоканальной связи.
