Одним из следствий совместного применения правил сложения и умножения вероятностей являются формулы полной вероятности и Байеса.
Рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами.
Теорема. Если событие может осуществиться только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события вычисляется по формуле
, (4.1)
которая называется формулой полной вероятности или средней вероятности.
Пример. В двух урнах находятся белые и красные шары: в первой – 4 белых и 5 красных, во второй – 7 белых и 3 красных. Из второй урны наудачу взяли шар и переложили его в первую урну. Найти вероятность того, что наудачу взятый после этого из первой урны шар будет белым.
Решение. Рассмотрим событие - взятый из первой урны шар белого цвета. Гипотезы: - из второй урны в первую переложили белый шар, - из второй урны в первую переложили красный шар. Их вероятности, соответственно, равны и . Вероятность того, что взятый из первой урны шар будет белого цвета при добавлении туда шара белого цвета из второй урны равна , а вероятность того, что взятый из первой урны шар будет белого цвета при добавлении туда шара красного цвета из второй урны равна . Вероятность события найдем по формуле (4.1) при :
.
Следствием формулы (4.1) является формула Байеса (1702-1761, английский священник, математик) или теорема гипотез.
Теорема. Пусть события образуют полную группу. Тогда условная вероятность события , при условии, что событие произошло, задается формулой
Теорема позволяет оценить вероятности гипотез , во всех испытаниях, где наступает событие . Иными словами, зная вероятность до проведения испытания, мы можем переоценить ее после проведения испытания, в результате которого появилось событие .
Пример. С первого автомата поступает на сборку 80% деталей, а со второго – 20% таких же деталей. На первом автомате брак оставляет 1%, а на втором – 5%. Проверенная деталь оказалась бракованной. Что вероятнее: эта деталь изготовлена на первом автомате или же она изготовлена на втором автомате?
Решение. Рассмотрим событие - проверенная деталь является бракованной. Гипотезы: - проверенная деталь изготовлена на первом автомате, - проверенная деталь изготовлена на втором автомате. Вероятности гипотез до проведения испытаний равны , . Вероятность того, что бракованная деталь изготовлена на первом автомате, равна , на втором - .
Событие может наступить или вместе с событием , или с событием . Переоценим вероятности гипотез. По формуле Байеса найдем:
;
.
Получили, что . Таким образом, более вероятно, что проверенная деталь, оказавшаяся бракованной, изготовлена на втором автомате.
Вопрос 5. Формула Бернулли.
Теоретический материал:
При практическом применении теории вероятностей часто используется стандартная схема, называемая схемой Бернулли или схемой независимых испытаний.
Определение. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются независимыми относительно события .
Пусть проводятся независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие (такой исход опыта называют успехом) с одной и той же вероятностью или произойти противоположное событие (исход называют неудачей) с вероятностью . Такого рода схема испытаний называется схемой Бернулли.
Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в определении вероятности того, что в независимых испытаниях событие наступит раз ( ).
Теорема. Если производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна , а вероятность его непоявления равна , то вероятность того, что событие произойдет раз определяется формулой Бернулли
