Понятие гипотезы.

. (3.9)

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. .

Пример. Мастер обслуживает 5 станков. 20% рабочего времени он поводит у первого станка, 10% - у второго, 15% - у третьего, 25% - у четвертого, 30% - у пятого станка. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится:

а) у второго или четвертого станка;

б) у первого, или второго, или третьего станка;

в) не у пятого станка.

Решение. Рассмотрим события:

- в наудачу выбранный момент времени мастер находится у второго или четвертого станка;

- в наудачу выбранный момент времени мастер находится у первого, или второго, или третьего станка;

- в наудачу выбранный момент времени мастер находится не у пятого станка;

- в наудачу выбранный момент времени мастер находится у первого станка;

- в наудачу выбранный момент времени мастер находится у второго станка;

- в наудачу выбранный момент времени мастер находится у третьего станка;

- в наудачу выбранный момент времени мастер находится у четвертого станка;

- в наудачу выбранный момент времени мастер находится у пятого станка.

Вероятности событий , , , , соответственно равны:

.

События , , , , являются несовместными событиями и образуют полную группу.

а) Событие равно сумме несовместных событий и : . Вероятность события равна .

б) Событие представляет собой сумму трех несовместных событий , , : = + + . Вероятность события равна .

в) Событие противоположно событию : . Вероятность события равна

.

Правило 4. Вероятность суммы двух совместных событий и равна сумме их вероятностей минус вероятность их произведения

Пример. Два студента решают задачу. Вероятность того, что задачу решит первый студент, равна 0,7; вероятность того, что задачу решит второй студент, равна 0,9. Найти вероятность того, что задачу решит хотя бы один студент.

Решение. Рассмотрим событие - задачу решит хотя бы один студент. Это событие представляет собой сумму двух совместных событий: - задачу решит первый студент и - задачу решит второй студент( то есть решил или первый или второй или оба). Вероятность события равна

.

Пример. Бросаются два игральных кубика. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Решение. Рассмотрим событие - появление хотя бы одной шестерки при бросании двух игральных кубика. Это событие представляет собой сумму двух совместных событий: - появление шестерки на первом кубике и - появление шестерки на втором кубике. Вероятность события равна .

Формула вероятности суммы трех событий имеет вид

.

Однако, проще найти вероятность суммы нескольких совместных событий используя равенство , где - противоположно событию . Тогда .

Вопрос 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Теоретический материал: