Пусть и - два события, рассматриваемые в данном опыте.
Определение. Событие называется независимым от события , если вероятность появления события не зависит от того, произошло событие или не произошло.
Например, при подбрасывании двух кубиков вероятность появления «2» на первом кубике (событие ) не зависит от появления «2» на втором кубике (событие ). Следовательно, события и независимы.
Определение. Событие называется зависимым от события , если вероятность появления события зависит от того, произошло или не произошло событие .
Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.
Определение. Вероятность того, что произошло событие при условии, что произошло событие , называется условной вероятностью события при условии .
Обозначатся: .
Определение вероятности произведения событий.
Правило 1. Вероятность произведения двух независимых событий и равна произведению вероятностей этих событий
Правило 1 справедливо для произведения любого конечного количества независимых событий
Пример. Найти вероятность поражения цели при совместной стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели орудиями равны 0,9, 0,8 и 0,7 соответственно (события , и ).
Решение. Поскольку события , и являются независимыми, то искомая вероятность вычисляется по формуле (3.2), при :
.
Когда в результате испытания могут иметь место независимых событий с известными вероятностями их появления, особый интерес представляет случай нахождения вероятности наступления хотя бы одного из них (например, в случае трех событий – найти вероятность наступления либо одного, либо двух, либо трех событий). Обозначим это событие через . Справедлива следующая теорема.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий определяется формулой
, (3.3)
где - вероятности соответствующих противоположных событий .
В частном случае, когда все события имеют одинаковую вероятность , из формулы (3.3) следует, что
Пример.На перевозку груза направлены 4 автомобиля. Вероятность нахождения каждой из машин в исправном состоянии равна 0,8. найти вероятность того, что в работе участвует хотя бы один из выделенных для этого автомобилей.
Решение. Вероятность противоположного события (машина неисправна) равна .По формуле (3.4) находим искомую вероятность при :
.
Правило 2. Вероятность произведения двух зависимых событий и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго
Пример. В ящике лежат 11 деталей, из которых 3 нестандартные. Из ящика дважды берут по одной детали, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что в первый раз извлечена нестандартная деталь, а во второй – стандартная.
Решение. Событие - извлечение из ящика нестандартной детали, а событие - стандартной. Вероятность события равна , а условная вероятность события равна .
Искомую вероятность произведения этих событий (их совместное появление в указанном порядке) найдем по формуле (3.5): .
Правило вычисления вероятности произведения зависимых событий также справедливо для произведения любого конечного количества зависимых событий. Условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие произошли
Пример. Студент пришел на экзамен, зная лишь 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент ответит на три вопроса билета.
Решение. Событие - студент ответил на три вопроса билета. Это событие является произведением трех зависимых событий - студент ответил на первый вопрос билета, - ответил на второй вопрос билета и - ответил на третий вопрос билета. Вероятность события равна , вероятность того, что студент ответит на второй вопрос билета при условии, что он ответил на первый вопрос равна , вероятность того, что студент ответит на третий вопрос билета при условии, что он ответил на первый и второй вопросы равна .
По формуле (3.6) найдем вероятность события : . Таким образом, вероятность того, что студент ответит на три вопроса билета, зная лишь 40 вопросов из 50 равна 0,5.
Определение вероятности суммы событий.
Правило 3. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
Пример. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов приходится 5 денежных и 20 вещевых выигрышей. Какова вероятность выигрыша на один билет?
Решение. Рассмотрим событие - любой выигрыш по одному билету. Событие состоит из суммы двух несовместных событий: - денежный выигрыш по одному билету и - вещевой выигрыш по одному билету, т.е. . Вероятность события равна , вероятность события равна .
Вероятность события найдем по формуле (3.7): .
Правило вычисления вероятности суммы двух несовместных событий справедливо для суммы попарно несовместных событий
