Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если , то .

Сумма вероятности события и события, противоположного ему , равна единице, т.е. .

Вероятность невозможного события равна нулю, т.е. .

Вероятность достоверного события равна единице, т.е. .

Пример. Какова вероятность того, что в трехзначном числе, наудачу выбранном из таблицы случайных чисел, а) все цифры одинаковые; б) содержится одна цифра 5, а две другие – различные, причем среди них нет цифры 0?

Решение. Рассмотрим события:

- в наудачу выбранном трехзначном числе все цифры одинаковые;

- в наудачу выбранном трехзначном числе имеется одна цифра 5, а две другие – различные и среди них нет цифры 0.

Найдем вероятности событий и , применив формулу (2.1).

а) Имеется 900 трехзначных чисел (от 100 до 999), значит общее число исходов испытания равно =900. Трехзначных чисел, составленных из одинаковых цифр (это числа 111, 222, 333, ,999) девять, т.е. число исходов испытания, благоприятствующих событию равно =9.

Вероятность события равна .

б) При определении вероятности события общее число исходов испытания =900. Найдем число исходов испытания, благоприятствующих событию .

Цифра 5 в трехзначном числе может занимать одно из трех возможных мест: первое, второе, третье. Если цифра 5 занимает первое место, то два оставшихся свободных места могут быть заняты какими-либо двумя цифрами из оставшихся 8-ми (по условию цифра 0 исключается). Число благоприятных способов, которыми могут быть заняты эти два места, равно - числу размещений из 8-ми элементов по два, так как в каждое соединение входит 2 элемента из восьми имеющихся и соединения отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком (порядок элементов важен). Вычислим . В каждом из двух оставшихся вариантов число благоприятных способов, которыми могут быть заняты свободные два места, также равно . Таким образом, число исходов испытания, благоприятствующих событию , равно .

Вероятность события равна .

Пример. Ребенок играет с буквами разрезной азбуки. Какова вероятность того, что, разложив в ряд буквы К, И, Р, Д, А, Н, З, П, он составит слово ПРАЗДНИК?

Решение. Обозначим событие - ребенок составит слово ПРАЗДНИК.

Всего имеется 8 элементов – 8 букв; в образовании различных соединений участвуют все 8 элементов; различные соединения отличаются друг от друга только порядком элементов; следовательно, эти соединения являются перестановками из 8-ми элементов. Общее число исходов испытания: .

Число исходов испытания, благоприятствующих событию , равно =1, так как требуется составить слово с буквами, расставленными в определенном порядке, и эти буквы различны.

Вероятность события равна .

Пример. В урне находятся 25 белых и 5 черных шаров. Из урны наудачу извлекаются 9 шаров. Найти: 1) вероятность того, что все 9 шаров – белые; 2) вероятность того, что среди 9-ти извлеченных шаров 3 черного цвета; 3) вероятность того, что среди 9-ти извлеченных шаров имеется хотя бы один шар черного цвета.

Решение. Рассмотрим события:

- все 9 извлеченных шаров белого цвета;

- среди 9-ти извлеченных шаров 3 шара черного цвета;

- среди 9-ти извлеченных шаров имеется хотя бы один шар черного цвета.

Найдем вероятности событий , и , применив формулу (2.1).