Закономерность его построения такова: складывая два рядом стоящие числа, получаем число, стоящее ниже между ними. Первая строчка – значения числа сочетаний из 1 ( ), вторая – из 2 ( - слева направо), и т.д.
Пример. Из группы в 25 человек нужно выбрать 3 человека на дежурство. Сколькими различными способами это можно сделать?
Решение. Число всех элементов множества (группа студентов) равно 25, т.е. . Выбранные трое дежурных образуют трехэлементное подмножество из данного множества, которое определяется только элементами, входящими в него и порядок в котором они расположены не имеет значения, т.о. . По определению имеем сочетание из 25 элементов по 3 и по вышеуказанной формуле найдем число различных способов выбора трех дежурных из 25 студентов группы
.
Ответ. 2300 способов.
Пример. В коробке находятся 50 деталей, из которых 10 бракованных. Из коробки наудачу берутся 5 деталей. Найти число различных способов взятия 5-ти деталей, среди которых ровно 3 бракованных.
Решение. В таких задачах обычно предполагается, что детали пронумерованы, т.е. различны между собой. Множество состоит из различных деталей, из которых 10 бракованных, а 40 – доброкачественных. Выбрать 3 бракованные детали из 10 можно способами, а 2 доброкачественные детали из 40 можно выбрать способами. Теперь по правилу умножения найдем сколькими способами можно выбрать 5 деталей, среди которых 3 бракованных: .
Ответ. 93600 различными способами можно выбрать 5 деталей.
Определение. Размещением из элементов по элементов называется любое упорядоченное -элементное подмножество рассматриваемого - элементного множества.
Из определения следует, что размещения – это выборки, состоящие из элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.
Число размещений вычисляется по формуле
.
Пример. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.
Решение. Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающийся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования, т.е. является размещением из 11 элементов по 5. Число вариантов расписаний, т.е. число размещений из 11 по 5, найдем по вышеуказанной формуле .
Ответ. Число вариантов расписания равно 55440.
Определение. Перестановкой из элементов называется размещение из элементов по элементов.
Из определения следует, что перестановки – это выборки, состоящие из элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов.
Число различных перестановок из элементов вычисляется по формуле
.
Пример. На полке наудачу располагают 10 книг. 1) Сколько существует различных способов расположения этих 10-ти книг? 2) Сколько существует различных способов расположения 10-ти книг, при которых 2 заранее помеченные книги окажутся рядом?
Решение. 1) Так как книги разные, то они образуют множество из различных элементов. Расположение книг на полке – это перестановка из 10-ти элементов. Поэтому число различных расположений 10 книг на полке совпадает с числом различных перестановок из 10-ти элементов и находится по формуле .
2) Временно свяжем две заранее помеченные книги веревочкой в 1 том. После этого на полке окажется 9 томов, из которых 8 – старые книги, а 9-ый том образован связкой двух книг. Существует различных способов расположения указанных 9-ти томов на полке. При этом две связанные книги можно тасовать способами. Следовательно, число искомых перестановок из 10 книг равно .
Ответ. 1) 3628800; 2) 725760.
Элементы комбинаторики (схема выбора с возвращением).
Если при упорядоченной выборке элементов из элементы возвращаются обратно, то полученные выборки представляют собой размещения с повторениями. Число размещений с повторениями из элементов по вычисляется по формуле
.
Пример. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 9 вагонам?
Решение. Поскольку по условию задачи в один вагон могут сесть несколько человек, и поскольку рассадка зависит от того кто в каком вагоне находится, то используем формулу размещения с повторениями: .
Если при выборке элементов из элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то полученные выборки есть сочетания с повторениями. Число сочетаний с повторениями из элементов по элементов вычисляется по формуле
.
Пример. Сколькими способами можно составить набор из 5 шоколадок, если имеются шоколадки трех сортов в количестве по 10 штук каждого вида?
Решение. Поскольку при составлении шоколадного набора порядок расположения шоколадок не важен, то используем для подсчета формулу сочетаний с повторениями:
.
Если в перестановках из общего числа элементов есть различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется раз, 2-й элемент - раз, - й элемент - раз, причем , то такие перестановки называют перестановками с повторениями из элементов. Число перестановок с повторениями из элементов вычисляется по формуле
Пример. Сколько перестановок можно получить из букв слова КОЛОКОЛА?
Решение. Требуется найти число перестановок с повторениями на множестве из 8 букв, среди которых: буква К повторяется 2 раза; буква О повторяется 3 раза; буква Л повторяется 2 раза; буква А повторяется 1 раз.
Таким образом .
.
Вопрос 2. Понятие случайного события. Классическое определение вероятности события.
