6. Элементы комбинаторики: сочетание, размещение, перестановка.
Каждодневный опыт убеждает нас в том, что в обыденной жизни, практических ситуациях, а также в научных исследованиях постоянно приходится сталкиваться с положениями, когда привычные нам закономерности строгого детерминизма, уже не имеют места. При решении многих задач нам приходится учитывать и случайные факторы, придающие исходу элемент неопределенности. Например, при стрельбе из орудия по цели наблюдается так называемое рассеивание снарядов. Уклонение очки попадания снаряда от центра цели заранее указать нет возможности – оно случайно. Невозможно предсказать, какая сторона выпадет при бросании монеты. Одной констатации факта наличия случайности для уверенного использования явлений природы или управления технологическими процессами совершенно недостаточно, необходимо научиться количественно оценивать случайные явления, прогнозировать их течение. Этим занимаются две математические науки – теория вероятностей и математическая статистика.
Предметом теории вероятностей являются математические модели случайных явлений. То есть теория вероятностей рассматривает не сами реальные явления, а их упрощенные схемы – математические модели. Под случайным явлением понимают явление, предсказать исход которого невозможно (при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта оно протекает каждый раз несколько по-иному).
Возникновение теории вероятностей относится к середине 17 в. и связано с попыткой создания теории азартных игр. Первую книгу по теории вероятностей «О расчетах в азартной игре» опубликовал голландский математик Х.Гюйгенс. Становление теории вероятностей как науки связано с именами Якоба Бернулли, К. Гаусса, П Лапласа, С. Пуассона. Ученые были убеждены в том, что на базе массовых случайных явлений могут возникать четкие закономерности.
С половины 19 столения развитие теории вероятностей связано в значительной мере с именами русских ученых – В.Я Бунявского ( был написан им первый в Росси курс теории вероятностей), П.Л.Чебышева, А.А.Маркова, А.М.Ляпунова. ими было введено в качестве объекта систематического изучения и широко использовано понятие случайной величины.
В настоящее время нет практически ни одной области науки, в которой в той или иной степени не применялись бы вероятностные методы.
Во многих задачах классической теории вероятностей используется комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются различные соединения (комбинации) элементов конечных множеств.
Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух важных правил:
1. Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент ) можно выбрать способами, а второй объект (элемент ) - способами, то оба объекта ( и ) в указанном порядке можно выбрать способами.
Это правило распространяется на случай трех и более объектов.
Пример. Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 соревнующихся?
Решение. Имеется 16 различных способов распределения 1-го места. После того как первое место занято, осталось 15 соревнующихся, претендующих на 2-ое место. После занятия второго места, осталось 14 спортсменов, претендующих на 3-е место. Так как нам надо распределить 1-ое и 2-ое и 3-е места среди соревнующихся, то воспользуемся правилом умножения: (способов).
Ответ. Существует 3360 способов распределения трех призовых мест среди 16 соревнующихся.
Пример. Если подбросить одновременно три игральные кости, то сколько имеется различных возможных комбинаций выбранных очков?
Решение. Первая кость – 6 возможных комбинаций, вторая кость – 6 возможных комбинаций, третья кость – 6 возможных комбинаций. Так как одновременно подбрасываются 1-ая кость и 2-я и 3-я, то воспользуемся правилом умножения: (способов).
Ответ. При подбрасывании одновременно трех игральных костей имеется 216 способов различных возможных комбинаций выпавших очков.
2. Правило сложения: если некоторый объект можно выбрать способами, а объект - способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов ( или ) можно выбрать способами.
Данное правило распространяется на любое конечное число объектов.
Пример. Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины, в которой имеется 12 гвоздик, 15 роз и 7 хризантем?
Решение. Одну гвоздику мы можем выбрать 12 способами, одну розу – 15 способами, одну хризантему – 7 способами. Так как выбрать надо только один цветок из корзины, то это будет или 1 гвоздика или 1 роза или 1 хризантема. Воспользуемся правилом сложения: 12+15+7=34 (способа).
Ответ. Один цветок из корзины можно выбрать 34 способами.
Пример. В студенческой группе 12 девушек и 16 юношей. Сколькими способами можно выбрать для вручения призов двух студентов одного пола?
Решение. Сначала найдем сколькими способами для вручения призов можно выбрать двух девушек их 12. Воспользуемся правилом умножения: (способа). Теперь найдем сколькими способами можно выбрать двух юношей: (способов). Так как по условию задачи призы вручают или две девушки или два юноши, то воспользуемся правилом сложения: 132+240=372 способа.
Ответ. Для вручения призов двух студентов одного пола можно выбрать 372 способами.
Решение вероятностных задач часто облегчается, если использовать комбинаторные формулы. Каждая из них определяет число всевозможных исходов в некотором опыте, состоящем в выборе наудачу элементов из различных элементов рассматриваемого множества.
Существует две схемы выбора элементов ( ) из исходного множества:
· без возвращения – выбранные элементы не возвращаются в исходное множество;
· с возвращением – выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.
Элементы комбинаторики (схема выбора без возвращения).
Пусть имеется множество из различных элементов, т.е. элементы имеют или разные названия или разные номера. Пусть , .
Определение. Сочетанием из элементов по элементов называется любое подмножество, которое содержит элементов, взятых из данных элементов.
Из определения следует, что сочетания – это выборки (комбинации), каждая из которых состоит из элементов, взятых из данных элементов, и которые различаются друг от друга только элементами, входящими в них; порядок, в котором они расположены не имеет значения.
Число различных сочетаний из элементов по можно найти по формуле
,
где , , .
Значения могут быть найдены не расчетом по формуле количества сочетаний, а с помощью так называемого треугольника Паскаля (Блез Паскаль (1623 – 1662) – французский математик).
