Определение математического ожидания

Математическое ожидание случайной величины и его основные свойства

Введение.

Важнейшей числовой характеристикой является её математическое ожидание или

∑ⁿ

среднее значение, вычисляемое по правилу M = x_ip_i), где x_i – принимаемые зна-

i=1

чения, p_i – вероятности их выпадения.

С помощью математического ожидания мы можем сравнивать между собой две случай-ные величины (например, из двух стрелков лучший тот, кто выбивает в среднем наиболь-шее число очков), однако встречаются задачи, в которых знание одного лишь M недо-статочно.

Пример:Пушка ведёт прицельный огонь по мишени,удалённой от пушки на расстояниеa.Обозначим дальность полёта снаряда через километров; M = a

Отклонение M от a свидетельствует о наличии систематической ошибки (производ-ственный дефект, неправильный угол наклона). Ликвидация систематической ошибки до-стигается изменением угла наклона орудия.

Вместе с тем, отсутствие систематической ошибки ещё не гарантирует высокую точность стрельбы. Чтобы оценить точность надо знать, насколько близко ложатся снаряды к цели.

Как определить точность стрельбы и сравнить между собой качество стрельбы двух ору-дий?

Отклонение снаряда от цели - − a

M( − a) = M − a = a − a = 0

В среднем, положительные и отрицательные значения M сокращаются. Поэтому приня-то характеризовать разброс значений случайной величины математическим ожиданием квадрата её отклонения от своего математического ожидания. Полученное таким обра-зом число называется дисперсией случайной величины .

D = M( − a)²= M[ − M ]²

Ясно, что в случае орудий, ведущих стрельбу, лучшим следует считать орудие, у которого D будет наименьшей.

Пусть характеризуется таблицей вероятностей

x_i :	^x1	^x2		: : :	^xn
p_i :	p₁	p₂		: : :	p_n
					n	n
			M = x_ip_i;	D = M( − M )²= (x_i − M )² ∗ p_i
					i=1	=1
					∑	∑_i

Пусть есть некоторое пространство, в котором имеется некоторое = (!_i).

!_i –неразделимое событие(пример:исходы броска монеты); !_i : (i = 1; n¯).

Совокупность !_i образует пространство элементарных событий Ω = {!₁; !₂; : : : ; !_n}

Математическим ожиданиемслучайной величины называется число,обозначаемоеM и равное

∑ ∑ⁿ

M = {(!_i) ∗ P (!_i)} = (!_i) ∗ p(!_i),где p_i -элементарные вероятности.

!_i∈Ω i=1

Из определения математического ожидания вытекают следующие свойства: 1. Аддитивность. M( + ) = M + M .

( _n	)	n
∑		∑
Следствие M	_k =	(M_k).
k=1		k=1

2. ∀C = const : M(C ∗ ) = C ∗ M .Совокупность свойств1и2даёт нам свойстволинейности математического ожидания:

M(C_{1 1}+ C_{2 2}+ : : : + C_{n n}) = C₁M(₁) + C₂M(₂) + : : : + C_nM( _n)

3. Математическое ожидание индикатора случайного события равно вероятности этого случайного события.

Индикатор [ ]: M _A(!) = P (A) - случайная величина, принимающая 2 значения:

_A(!) = {1; ! ∈ A | 0; ! ̸∈A}

∑

P (!) = P (A)

!∈A

M _A(!) =	1 ∗ p(!) +0 ∗ p(!) =	1 ∗ p(!) = P (A):
!∈A	!̸∈A	!∈A
∑	∑	∑

4. Свойство монотонности > ⇒ M > M .

Докажем вначале, что имеет место следующее свойство > 0 ⇒ M > 0 (при разложе-нии по определению неотрицательны).

∑

M = (!)p(!) > 0:

Применим полученное свойство:

− > 0 ⇒ M( − ) > 0 ⇒ M − M > 0 ⇒ M > M :

Формулы вычисления математического ожидания

Пусть x₁; x₂; : : : ; x_n –- значения случайной величины , принимаемые с вероятностями p₁; : : : ; p_i.Тогда имеет место следующая формула для вычисления математического ожи-дания :

∑ⁿ

M = x_i ∗ P ( = x_i)

i=1

Чтобы доказать формулу будем исходить из того, что может быть представлена в виде линейной комбинации индикаторов случайных событий

∑ⁿ

= x_i ∗ _A_i (!)

i=1

A_i{!_i : = x_i}

Левые и правые части соотношения совпадают. Применим к написанному равенству опе-рацию математического ожидания:

(

)

i=1

x_{i A}_i (!)

i=1

^{M x}i A_i

(!) =

i=1

^xi^M A_i

(!) =

x_iP ( = x_i)

∑

(

)

∑

(

)

∑_i

Рассуждая аналогично, нетрудно получить формулы вычисления математического ожи-дания от величин, представляющих собой функции случайных величин.

Пусть заданы f( ); g( ; ).

В этом случае

M(f( )) =	(f(x_i) ∗ P ( = x_i))
		=1
		∑_i		)
	n	m
M(g( ; )) =	=1	⁽_j₌₁ ^g^(xi^{; y}j⁾ ^∗ ^P^{= x}i^; ⁼ ^yi
	∑_i	∑	(	)

Здесь P ( ; ) – совместная вероятность.

5 Мультипликативное свойство математического ожидания

Пусть ; - независимые случайные величины, то M( ; ) = M ∗ M Доказательство:

	n	m		)
M( ; ) =	=1	⁽_j₌₁ ^xi ^∗ ^yj ^∗ ^P^{= x}i^; ⁼ ^yj
^∑i	∑	(	)

Если ; независимы, то для них применима теорема умножения вероятности.

P ( = x_i; = y_j) = ( ; независимы) = P ( = x_i) ∗ P ( = y_j)

n	m
=1	⁽_j₌₁ x_i ∗ y_j ∗ P ( = x_i) ∗ P ( = y_j)⁾	=
^∑i	∑
n	m
∑	∑

= x_i ∗ P ( = x_i) ∗ y_i ∗ P ( = y_j) = M ∗ M

i=1 j=1

Замечание:Все написанные формулы имеют место,если вероятностное пространствоконечно, т.е. число элементарных событий конечно !_i = (1; n¯).

В случае, если вероятностное	пространство счётно, количество элемен-
тарных сообщений бесконечно,	тогда для случайной величины (!); !	∈
(счетное вероятностное пространство) имеют место следующие формулы:

	!_i; i = [1; ∞]
	∞
M =	(x_i ∗ P ( = x_i))
	=1
	∑_i

_∑∞

Mf( ) = (f(xi) ∗ P ( = x_i))

i=1

В формулах справа стоят ряды. Чтобы математические ожидания существовали надо, что-бы эти ряды сходились. Ряд сходится, если он имеет конечную сумму.

Задача:ВычислитьM,распределённой по закону Пуассона.P( =k) = (a^k/k!)e⁻^a,гдеk = {0; 1; 2; 3; 4; : : : ; ∞}; a > 0–заданный заранее характер распределения.

Решение:

M =	∞ _k	∗	(a^k ∗ e^−a)	= e^−a	∞ _k	∗	(ka^k)	=
	k=0	k!		k=0	k!
	∑				∑

= e^−a	∞	(k∗ a^k−¹a)	= e^−aa	^∞ _as	(формула Маклорена) = e⁻^aae^a = a
		s!
		(k	−	1)!
	k=0			s=0
	∑			∑

Математическое ожидание случайной величины, распределённой по закону Пуассона с параметром распределения a равно этому параметру распределения.

Если непрерывна, её закон распределения определяется плотностью распределения

∫^∞

f (x)>0 ⇒ M = xf (x)dx.Если имеется функция g( ); g( ; ),то математическое

−∞

ожидание вычисляется по формулам:

∫^∞

M_g = g(x)f (x)dx

−∞

∫∫^∞

M( ; ) = g(x; y)f (x; y)dx dy

−∞

где f( ; ) - плотность совместных случайных величин.

Эти математические ожидания существуют, если все написанные несобственные инте-гралы сходятся.

Пример:вычислить математическое ожидание,равномерно распределённое по зако-ну Пуассона

Решение:

f (x) =

; a 6 x 6 b | 0; x ∈ в остальных случаях

−

∞

_x2^b

a + b

M =^∫

xf (x)dx =

∫_a

xdx =

a ⁼

b − a

2(b − a)

−∞

Пример 2:вычислить математическое ожидание случайной величины,распределён-ной нормально (по закону распределения Гаусса)

(x a)²

∞

(x a)²

f (x) =

√

e⁻

√

^∫_(x ₋ _a_)e−

dx+

2 ²

∞

−∞

(x a)²

√

∫

(x− a)e⁻

√

dx (интеграл Лапласа)= 0 +

2 = a

2 ²

−∞

Вывод:Распределение случайной величины,распределённой нормально,равно пара-метру распределения.